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泰勒公式及其应用 本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从六个方面对泰勒公式进行综合论述利用泰勒公式求极限、证明中值公式、证明不等式、估计、在方程中的应用、在近似计算的的应用。 关键词：泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 泰勒级数 一、泰勒公式及其余项 1：泰勒公式 对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构造一个 次多项式， 称为函数在点处的泰勒(Taylor)多项式,的各项系数称为泰勒系数。 2：泰勒余项 定理1：若函数在点存在直到阶导数，则有；即其中称为泰勒公式的余项。 形如的余项称为佩亚诺型余项。 特殊的当时; 称为（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式。 定理2：（泰勒定理） 若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点(a,b)使得 其中, , 称为拉格朗日型余项。 特殊的当时; 称为（带有拉格朗日型余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式。 泰勒公式的应用 利用泰勒公式求极限 求极限 解： 因而求得 例2，设函数在上二次连续可微，如果存在，且在上有界，求证： 证：要证明，即要证明:,当x时, 利用泰勒公式,, 即 ⑴ 记因有界，所以,使得 故由⑴知 ⑵ ,首先可取.充分小，使得,然后将固定. 因,所以,当时 从而由⑵式即得 例3，设 ⑴在内是阶连续可微函数，此外 ⑵当时,有，但是； ⑶当时,有 ① 其中 证明： 证：我们要设法从①式中解出.为此,我们将①式左边的及右端的在处展开.注意条件⑵,知使得., 于是⑴式变成 从而 因利用的连续性, 由此可得 证明中值公式 例4，设在上三次可导,试证:使得 ⑴ 证：（待定常数法）.设为使下式成立的实数 ⑵ 这时，我们的问题归为证明:使得 ⑶ 令 ⑷ 则 根据罗尔定理,,使得,由⑷式,即: ⑸ 这是关于的方程，注意到在点处的泰勒公式: ⑹ 其中，比较⑸，⑹可得式⑶证毕。 证明不等式 例5，设有二阶导数, 试证 证： 二式相加，并除以,有 令取极限得： 估计 例6，若在上有二阶导数,, 试证:,使得 ⑴ 证：应用泰勒公式，将分别在点展开，注意,使得 ⑵ ⑶ (3)-(2)得, 故 例7，设在上有二阶导数,时, 试证：当时, 证： 所以 方程中的应用 例8，设在内有连续三阶导数，且满足方程 ⑴ 试证：是一次或二次函数 证：问题在于证明:，为此将（1）式对求导，注意与无关. 我们有: (2) 从而, 令取极限，得 若,由此为一次函数;若,(2)式给出 此式两端同时对求导，减去;除以,然后令取极限,即得; 为二次函数 在近似计算上的应用 例9，计算的值，使其误差不超过. 解：,由,得到 有: 故,当时,便有 从而略去而求得的近似值为  数学科学学院本科学年论文 泰勒公式的展开及其应用 3 1