泰勒公式的推廣及某些应用.docxVIP

泰勒公式的推广及某些应用数学计算机学院数学与应用数学(师范)专业 2012级届王杰摘 要: 目的推广带有皮亚诺(Peano)型余项的泰勒公式及应用.方法应用带有皮亚诺型余项的泰勒公式,将判断函数极值性和凸凹性的定理进行推广.结果得到判断函数极值点和曲线拐点的充分条件.结论应用放宽条件的带有皮亚诺(Peano)型余项的泰勒公式扩展了其使用范围,使计算更加简捷.关键词: 极值；泰勒公式；实分析；复分析中图分类号：O172Some Application of Taylor formula and its extensionAbstract: In order to generalize Formula Taylor with Surplus Item Peano and its application,the applicationof Formula Taylor with the Peano form of the remainder was discussed in calculating the limits of indeteu-minate form and analyzing the properties of functions.By generalizing the theorems used to judge such prop-erties as local minimum and local maximum and the concave upward and downward in Higher Mathematicsand MathematicalAnalysis,the sufficiency conditions to judge the local minimum and maximum of functionsand the inflection points of curves were obtained.Key Words:extreme value; Taylorformula; real analysis; complex analysis目录1引言12 泰勒公式在实分析中的应用22.1泰勒公式在证明不等式中的应用22.2 泰勒公式在求函数极限中的应用33 泰勒公式在复分析中的一个推广43.1预备知识53.2 主要公式及其推论63.3主要公式的证明73.3几个常见解析函数的泰勒展式及简单应用84 泰勒公式在两函数的和、差、商的推广95 结束语13参考文献13致谢14泰勒公式的推广及某些应用1引言泰勒公式有那些形式？为了方便我们研究和讨论，在这我们先说几种.定理1.1设在点具有阶导数，即存在，则存在的某个领域，对于该领域内的任一点，有(1.1)我们称为皮亚诺型余项，(1.1)式称为带皮亚诺型余项的泰勒公式.多项式(1.2)称作在处的泰勒多项式. 当时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式.(1.3) 在泰勒公式(1.2)中，如果取，则在0与之间．因此可令，从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓麦克劳林(Maclauri)公式(1.4)在泰勒公式(1.1)中，如果取，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式（1.5）那么它在这方面有那些应用？它又有什么推广和应用？我们通过以下的几个方面来深入探讨和研究. 2泰勒公式在实分析中的应用泰勒公式是研究复杂数学问题的极其有效的工具，在证明不等式、求函数极限、求近似值、判断函数极值等方面有着广泛的应用.因此，关于泰勒公式的应用一直是人们研究的课题. 下面我们介绍泰勒公式的几个应用.2.1泰勒公式在证明不等式中的应用用泰勒公式证明不等式就是把所要证的不等式适当变形,把其中的函数用此公式展开,再把展开式右边进行放大或缩小,从而推证要证的不等式. 例2.1 当时，证明不等式成立.证明 由于故即 所以成立.例2.2设是上的连续正值函数，且证明.分析直接写出的泰勒展开式，然后根据题意对展式进行放缩.证明将在点处展开成带拉格朗日型余项的泰勒公式得：2.2泰勒公式在求函数极限中的应用当极限为分式时，若分子或分母中只需展开一个，那么只需把其展到另一个的同阶无穷小的阶数；若分子和分母都需要展开，可分别展到其同阶无穷小的阶数，即合并后的首个非零项的幂次的次数. 当极限不是为分式时，展开的阶数应与函数中最高次幂相同. 例2.3 求分析因为分子、分母都需要展开，比较一下分母为两个函数的乘积，先展分母，再把分子展开到分母的同阶无穷小. 解所以 故 通过上面的几个例子，可以看出利用泰勒公式求解某些函数的极限具有简洁、方便的作用，从而准确、高效的解决一些数学问题. 3泰勒公式在复分析中的一个推广泰勒公式在实变函数与复变函数中占有重要的地位，特别是在函数逼