数理统计第五章知识点解析.ppt

从而有 由于 (2). 而 又 y1, ? , yn 相互独立， 所以 与 独立. (3). 由于 于是 有 推导样本方差 s 2 的概率密度函数： 由于 令 则 其反函数为 有 从而样本方差 s 2 的概率密度函数为 计算样本方差 s 2 的方差 Var (s 2 ): 由于 故 从而有 2. 主要推论 推论 5.4.1 设 是来自总体 的样本， 是来自总体 的样本， 与 独立， 记 其中 则有 特别，若 则有 由于两样本x、y 独立， 从而 与 也独立， 于是由抽样基本定理结论(3)知， 再由F分布定义知 # 证明： 设 是来自总体 的样本， 均值和样本方差分别为 推论 5.4.2 其样本 则有 由抽样基本定理结论 (1) 知， 进而有 由结论(3)， 于是 # 证明： 又有 推论 5.4.3 设 是来自总体 的样本， 是来自总体 的样本， 记 其中： 与 独立， 则 与 为样本x 的样本均值和样本方差， 与 为样本y 的样本均值和样本方差， 由抽样基本定理结论(1)知， 由x 与y 独立可知 与 也独立， 故有 从而 证明： 由结论(3)知， 由x 与y 独立可知 与 也独立， 再由 分布的可加性知， 由x 与y 独立可知 与 也独立， 从而由t 分布的构造知 # §5.5 充分统计量 引入： 统计量的充分性是数理统计的一个基本概念， 学家Fisher在其1922年的奠基性工作中提出来的. 统计量是对样本的简化， ①简化的程度高； 希望达到： 它是由统计 称这样的统计量为充分统计量. 无损失， 也就是说信息 统计量把样本中的全部信息都集中起来， 最好的情况就是 也依赖于问题的统计模型. 形式有关， 与统计量的具体 一个统计量能集中多少样本中的信息， ②信息的损失少. 关于样本 的信息可以设想成如下的公式： +{知道T(x)后样本还含有的剩余信息} = {T(x)中所含样本的信息} 故统计量T(x)为充分统计量的要求归结为： 后一项信息为0， 用统计的语言描述就是要求条件分布 不依赖于 参数θ , 有关θ的信息都含在统计量T(x) 中了， 当已知统计量T(x)的取值后， 也就是说， 也就知道了样本中关于参数θ 的所有信息. {样本x的信息} 3. 多个次序统计量及其函数的分布 (1). 两个次序统计量的联合密度函数 定理 5.3.6 若 为抽自密度函数为p(x)、 F(x)的总体X 的样本， 则次序统计量 ( x(i) , x(j) ) ( i ? j ) 的联合 分布函数为 密度函数为 (2). 样本极差 的分布 例 5.3.9 极差Rn? x(n) ? x(1)的密度函数. 设 为抽自均匀分布总体U(0, 1)的样本， 则分布函数为 由于总体的密度函数为 解: 于是次序统计量(Y, Z ) ? ( x(1) , x(n) ) 的联合密度函数为 求样本 作变换 则有 有雅可比行列式 从而(Y, R) 的联合分布密度为 于是, 极差R 的边际密度函数为 (3). 样本分位数与样本中位数 ①. 样本中位数: 例如： 当 n ? 6 时， 当 n ? 5 时， ②.样本q分位数: 例如： 当 n ? 20，q ? 0. 45 时， 当 n ? 10，q ? 0. 35 时， ③. 样本q 分位数的渐进分布 设总体密度函数为 p(x), 其总体 q 分位数为 xq , p(x)在点xq 处连续且 p(xq ) 0, 则当 时, 样本 q 分位数 mq 的渐进分布为 特别地， 当 时, 样本中位数 m0.5 的渐进分布为 定理 5.3.7 例5.3.10 设 是抽自密度函数为 分布函数为 的柯西总体的样本， 求