数学物理方程学习指导书第7章数理方程求解中出现的几个特殊类型的常微分方程解析.docVIP

第7章 数理方程求解中出现的几个特殊类型的常微分方程 在第5章中，我们用分离变量法求解了一些定解问题，从5.3可以看出，当我们采用极坐标系以后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程.在那里，由于我们只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程.如果我们不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程，本章我们将通过在柱坐标和球坐标系中对定解问题进行分离变量，引出贝塞尔方程与勒让德方程，由于这两个方程都属施特姆-刘维尔型的，所以在本章我们还要简要地介绍一下施特姆-刘维尔特征理论，这个理论是分离变量法的基础. 7．1 贝塞尔方程的引出 下面我们以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程，设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度，且初始温度为已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律. 这个问题可以归结为求解下述定解问题 用分离变量法解这个问题，先令 代入方程(7.1)得 或 由此我们得到下面关于函数和的方程 (7.4) (7.5) 从(7.4)得 方程(7.5)称为亥姆霍兹（Helmhotz）方程，为了求出这个方程满足条件 （7.6） 的固有值与固有函数，我们引用平面上的极坐系.将方程(7.5)与条件(7.6)写成极坐标形式得 再令 ()， 代入(7.7)并分离变量可得 （7.9） (7.10) 由于是单值函数，所以也必是单值的，因此应该是以为周期的周期函数，这就决定了只能等于如下的数： . 对应于这些数有 =（为常数）， = (). 以代入方程(7.10)，并作代换，则得 (7.11) 其中这是一个变系数的线性常微分方程，称为阶贝塞尔（Bessel）方程.原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程(7.11)的固有值与固有函数.贝塞尔方程的解将在下一章讨论. 7．2 勒让德方程的引出 现在我们对球坐标系中的拉普拉斯方程进行分离变量.在球坐标系中拉普拉斯方程为 (7.12) 令 ， 代入(5.12)得 以乘上式各项得 或 上式左端只与有关，右端只与有关，要它们相等只有当它们都是常数时才有可能.为了以后的需要，我们把这个常数写成的形式（这是可以做到的，因为任何一个实数总可以写成这种形式，这里的可能为实数，也有可能为复数），则得 (7.13) (7.14) 将方程(7.13)左端的导数计算出来，即有 这是一个欧拉方程，这的通解为 其中为任意常数. 以乘方程(7.14)的两端得 即 此式的左端只与有关，而右端只与有关，因此只有当它们均为常数时才有可能相等，同时由对方程(7.9)的讨论可知，这个常数必须等于，从而得 （7.15） (7.16) 由方程(7.16)得 至于所满足的微分方程可写为 把上式第一项中的导数计算出来，并化简得 (7.17) 这个方程称为连带的勒让德(Legendre)方程. 如果引用为自变量并将改记成，则(7.17)变成 (7.18) 若与无关，则从(7.16)可知，这时(7.18)简化成 (7.19) 方程(7.19)称为勒让德方程，因此定解问题的解决也归结为求勒让德方程的固有值与固有函数.这个方程的解将在下一章讨论. 7．3 施特姆-刘维尔理论简述 前面两节我们已从不同的物理模型引出了两个特殊类型的微分方程（当然从其他的物理模型还可引出其他一些特殊方程），一些定解问题的解决都归结为求这两个方程的固有值与固有函数.本节我们就更一般的微分方程 (7.20) 阐述固有值问题的一些结论，不难看出，方程(7.11)、(7.18)、(7.19)都是这个方程的特例. 事实上，若取则(7.20)就变成贝塞尔方程 若取则方程(7.20)就成为勒让德方程 若取则方程(7.20)就变成连带的勒让德方程 方程(7.20)称为施特姆-刘维尔（Sturm-Liouvi