数学语言与证明方法解析.doc

第一章 数学语言与证明方法 1集合的概念和运算（4学时） 【教学目的】 了解、掌握集合掌握集合掌握集合五种运算和集合相等证明；掌握集合五种运算和集合相等证明；如何正确的证明集合之间包含和相等关系6个知识点来加以阐述。 1.1 集合与元素 集合是任意客体(对象)的聚集。客体称为这个集合的“成员”或“元素”，元素a要么属于集合A，要么不属于集合A,记为： a 此时，要充分的认识“任意客体”和“聚集”的含义。 1.2 集合与集合的关系 (1) B包含A中（或A包含B）,记为BA （2）集合A与集合B相等，记为A=B. 此时，两个集合各自包含的对象一一对应相等（或者说完全相等），该定义称为集合的外延性定理。 ， 此时，也称集合B不是集合A的子集。 （4）集合A与集合B不相等，记为A≠B。 (5) 集合B真包含在集合A中或集合A真包含集合B,记为B。 ， 此时，也称集合B是集合A的真子集。 （6）集合B不被A所真包含， 在集合中，常常涉及到集合之间的包含与集合之间相等的证明。证明时，常依据上述定义，采用离散数学中特有的按定义证明方法来加以证明。由于离散数学中的很多定义，都是由两部分构成，即“如……，则……”，我们把定义中的前半部分叫“已知”，后半部分叫“结论”，所以，所谓按定义证明方法就是首先叙述出你所要证明问题的定义，利用定义中的“已知”条件，加上题目中的其他的已知条件，推出定义中的“结论”。 1.3 特殊的集合 (1) 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为￠。空集是绝对唯一的，且是任何集合的子集。 证明一个集合是空集，或证明集合的唯一性，常采用反证方法，即假设该集合不是空集，或不唯一，导致与已知条件的矛盾或导致唯一。 （2） 全集：在一个具体的问题中，所研究的集合都是某个固定集合的子集，则称这个固定集合为全集，记为E或U。全集仅是相对唯一的。 （3） 幂集：任一集合A的一切子集作为元素所构成的称谓A的幂集，记为P（A）， 显然|A||P（A）|，由此可知，集合中不存在最大的集合。 1.4 集合的运算与定律 1. 集合的运算 集合的基本运算有并，交，差—，补~，对陈差，其定义如下： 2. 运算的定律 1.5 有穷集合的计数 解决有穷集合的计数问题有两种方法：文氏图法和包含排斥原理。 设S是有穷集，p1,p2,…,pm是m条性质，S中的任何元素x对于对于性质pi(i=1,2,…,m)具有或者不具有，两种情况必居其一。 令表示S中不具有性质pi的元素构成的集合，则包含排斥原理可描述为： 1.6 无限集合 可数无限集合 自然数集合N={0，1，2，…}是一个可数（可列）无限集合，凡是与自然数集合等势的集合就是可数无限集合。如整数集合、奇数集合、偶数集合、素数集合有理数集合等。 2.不可数集合 开区间（0，1）称为不可数集合，凡与（0，1）等势的集合都是不可数集合，如闭区间[0，1]，实数集合、无理数集合、复数集合等。 3.有限集合和无限集合的重要差别 （1）两个有限集合等势当且仅当它们有相同个数的元素； （2）有限集合不和其任何真子集等势； （3）无限集合可以和其真子集等势； （4）如A，B是两个有限集合，且|A|=|B|，，则A=B。 1.7 序列 1.序列 一个序列就是按某种顺序排列的一张表。 2.增序列 设S是一个序列，如对任意的n，有：SnSn+1 ,则序列S称为增序列；如对任意的n,有Sn+1Sn，则序列S称为减序列。 3.子序列 对于n=m,m+1,…,令{Sn}是一个序列，且令n1,n2,n3,…是一个增序列，对于所有的值在{m,m+1,..}中的k值，满足nknk+1,我们称序列{Snk}是{Sn}的一个子序列。 4.序列的运算 如是一个序列