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1 鲑鱼数量的变化问题 2 最优捕鱼策略 （1996 年全国大学生数学建模竞赛 A题） 鲑鱼数量的变化问题 数学建模竞赛选讲 1）建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总量）。 2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5 年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为122，29.7，10.1，3.29（×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。 一 问题的分析 1、给出了各年龄组鱼群的转化规律； 2、给出了它们的相对自然死亡率； 1 龄鱼 2 龄鱼 3 龄鱼 4 龄鱼 收获 1，2，3季度 捕获 产卵 第4季度 自然死亡 每条 3 龄鱼产卵量为 (个) 3、 给出了鱼产卵的时间分布； 只有3、4龄鱼在每年的9、10、11、12月份集中产卵。 并给出3、4龄鱼产卵的数量关系： 在一个季节里， 每条 4 龄鱼产卵量为 (个) 成活率（1龄鱼条数与产卵总量 n 之比） 4、并固定每年投入的捕捞能力（如渔船数，下网次数）及 3、4 龄鱼捕捞强度系数的比值。 捕捞强度系数k：单位时间捕捞量与各年龄组鱼 群条数成正比。 目标： 要求选择一定的捕捞强度系数，使得各年龄组鱼量在各年开始捕捞前条数不变（保证可持续捕获的要求），并在此条件下，得到以重量计的最大捕获量。 二 主要变量说明 ：表示（t+1）年 i 龄鱼的数量， ：表示4 龄鱼捕捞强度系数，则 3 龄鱼捕捞强度系数为 ：3,4 龄鱼的产卵总数 i=1,2,3,4; t=0,1,2,3,4; ：表示所捕捞鱼的重量 主要变量：各龄鱼的数量。 三 模型建立 建模关键： 建立各相关量与捕捞强度系数 k 的关系，控制 k 到最佳数值，在满足可持续捕获的条件下达到最大收获量。 1 鱼数量变化的一般模型 （1） 各龄鱼的数量须经一段时间，才能达到稳定状态，即到平衡年时，年末和年初的各龄鱼的数量基本保持不变。 自然死亡情况下 （2） 有捕捞情况下 2 各龄鱼数量变化的具体模型 设年初各龄鱼数量分别为 8月末，经捕捞及自然死亡后的各龄鱼群数量为 12月末，各龄鱼群数量为 卵的总数量为 n，t 按年算，则 * * * * 其它模型 海洋中鱼的数量通常是按繁殖期的长短呈周期变化的。以太平洋里的鲑鱼为例，其生长繁殖过程大致是，成年的鲑鱼产下大量的卵，在卵成长为幼鱼和幼鱼长大的过程中，相当大的部分被成年的鱼吃掉，剩下来的还要被恶劣的环境淘汰一些，而成年的鱼在产卵后则活不了多久就会死掉。 一 问题的提出 试建立鲑鱼产卵期到来之前，其数量变化规律的数学模型。 二 生长特点 1 呈周期性变化； 2 在每个周期里，经过了从卵、幼鱼到成年鱼 的变化过程。 一般地，长期观察是呈离散变化，而在每个离散时间段里呈连续变化。 如：树木的生长、冰箱温度的变化等， 嵌入式模型 嵌入式模型 它把一个个短期内描述连续变化过程的微分方程，嵌入到一个长期的描述离散变化规律的差分方程中，而那些描述短期演变过程的微分方程在定性上应该是相同的，只是在定量上参数与初始条件有所改变。 三 符号的说明 ：第n个繁殖期（周期）开始时成年鲑鱼（鲑鱼）的数量，以条数计，n=1,2,…； ：在每个周期内，时刻t 幼鱼的数量； 为了反映每个周期末和下个周期开始时的突变性，引入下列记号： 可以很小。在区间 内允许数量上的突变 四 模型的假设 1 成正比，比例系数为 ，表示每 条鱼的产卵量； 2 单位时间内 减少的比例与 成正比， 比例系数为 ，表示鲑鱼吞食幼鱼的能力； 3 成正比，比例系数为 ，表示在 繁殖期末幼鱼存活长成鲑鱼的比例。 五 模型建立 根据假设条件容易写出 （1） （2） （3） 方程（2）的解为 （4） 将（1），（4）代入（3）式得 （5） 若记 （6） 则方程（5）可写作 （7） 差分方程（7）是将每周期内的微分方程（2）嵌入 （1）、（3）得到的。这种嵌入式模型的一般形式 可以表为 （8） 差分方程（7）无法求出 的显式表达式，只能递推 求数值解。例如设 （表示1个数量单位， 比如 条），第1代（ ） 鲑鱼吞食掉90%的幼鱼 即 ，代入（4），（6）是可以算出 若 分别取 ，则由（6）式 将 代入（7）式递推计算 ，考察鲑鱼数量的 周期变化规律，结果见表。 2.396 1.725 21 0.19