数学解题思维策略..docVIP

百度文库专用 第一讲 数学解题思维策略 ——高考数学代数推理题 一、数学解题的思维过程 数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动． 在高考试卷中，有一类问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法接轨，这就是代数推理题．这类问题立意新颖，抽象程度高，是数学问题的典型代表．具体说来，其思维过程一般分为三步：首先要领会题意（审题）——弄清题目的条件是什么？结论是什么？如果条件和结论是用文字表达的，则把它翻译成数学语言；其次要明确方向——在审题的基础上，运用所学知识和数学思想方法，明确解题目标与方向；最后要规范表述——采用适当的步骤，合乎逻辑地进行推理和运算，并正确地表述． 在这里，第一步是关键，这就是我们通常说的审题． 二、如何审题？ 1、理清题意 审题，就是明确题目的已知和未知，是解题的第一步，这一步不要怕慢．从近年高考命题的特点来看，试卷容量有减少的趋向，目的也就是要突出对考生的能力检查，增加思考量，倡导多给考生一点思考和探索的时间． 其实，题目本身就是“怎样解这道题”的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，可以从语法结构、逻辑关系和数学含义三方面来理清题意． 2、条件启发解题手段，结论诱导解题方向 解题实践表明，条件往往预示可知并启发解题手段，结论则预告需知并诱导解题方向．可以按照条件列出所有的解题手段表解，根据结论写出可能的解题方向，并寻找出它们之间的联系，这样做的另一个好处是，可以将题目进行分解，避免失分． 3、挖掘隐蔽条件 对于条件，一定要用足用够．解题过程中的关键之处，往往是题目未明显写出的，即隐蔽给予的．一方面，解题时如果遇到“盲点”，可以回过头来分析是否用足用够条件；另一方面，也只有细致的审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这也说明，审题一定不要怕慢． 〖例1〗（2005年成都一诊22题）对于函数f(x)，若存在，使成立，则称为函数f(x)的不动点．已知． ⑴若对，f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围； ⑵在⑴的条件下，若y=f(x)的图像上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B两点关于直线对称，求b的最小值． 〔条件分析〕条件呈包含关系，子条件在结论二中列出． 前提条件→解题手段：信息迁移（数学含义）→三个“二次”结合（数形结合）； 子条件→解题手段：①隐蔽条件；②对称性（数形结合）→垂直、中点（点差法）． 〔结论分析〕两个结论． 结论一→解题方向：不等关系； 结论二→解题方向：利用单调性求最值． 练习： 1、设，已知时，f(x)的最小值是． ⑴求； ⑵求在⑴的条件下，f(x)0的解集A； ⑶设集合，且，求实数t的取值范围． 答案：⑴；⑵ ；⑶． 2、定义在R上的函数f(x)满足：如果对于任意，都有，则称函数f(x)是R上的凹函数．已知二次函数． ⑴求证：当时，函数f(x)是凹函数； ⑵如果，试求实数a的取值范围． 答案：⑴略；⑵实数a的取值范围为． 三、若干具体的解题策略 为了使解题的目标和方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些具体的解题策略．一切解题的策略的基本出发点在于变换，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的．基于这样的认识，常用的解题策略有熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化和间接化等策略． 1、熟悉化策略 熟悉化策略，就是将陌生的题目变为曾经解过的比较熟悉的题目，进而利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题．可以在分清题目条件和结论的基础上，通过变换题目的条件、结论及其联系上下功夫． ⑴联想回忆基本知识和题型 通过联想回忆，找出现有问题和熟悉问题之间的相似之处和相同的知识点，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有问题． ⑵全方位、多角度分析题意 全方位分析题意，即把题目的所有条件都要分析透，并找到各条件间以及条件和结论间的联系，从中找出熟悉的解题手段；多角度分析题意，就是要善于从不同的侧面、不同的角度去认识，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，找到自己熟悉的解题方向． ⑶恰当构造辅助元素 通过构造辅助元素，如构造数列、构造图形或几何量、构造等价性命题等，改变题目的形式，变陌生题为熟悉题． 〖例2〗（2003年成都一诊20题）已知数列{an}的前n项和为Sn，p为非零常数，满足条件： ①a1=1；②Sn=4an+Sn – 1– pan – 1()；③． ⑴求证：数列{an}是等比数列； ⑵求数列{an}的通项公式； ⑶若bn=nan，求数列{bn}的前n项和． 〔条件分析〕条件呈包含关系，子条件分项列出． 子条件①、②→联想