数值课程设计..docVIP

基于MATLAB数值实验的设计与实现 摘要 本文主要研究数值计算方法及其相关理论，内容主要包括非线性方程（组）的数值解法，线性方程组的数值解法，插值法，函数逼近，数值积分与数值微分，常微分方程数值解法等数值计算，解决这些数值问题我们主要通过迭代法，离散化技术，离散问题解析化技术，优化技术等来完成。通过学习不同的迭代方法，了解了迭代法的基本思想及其迭代函数的一般构造方法。离散化技术关键在于如何剖分（离散化）曲线（曲面）所在的区域为若干个小区域，用小区域的计算值来代替原数值解，常微分方程初值问题的Euler方法就属于离散化技术，优化技术就是建立优化模型，提供优化模型的有效方法，线性或非线性方程组的求解，最佳逼近函数的求法均可归结为一类特殊的优化问题。 关键词 数值计算；迭代法；优化模型；线性方程组. 1 非线性方程与方程组数值求解的设计与实现 实验目的和任务：理解非线性方程与方程组数值求解思想，设计并掌握MATLAB中非线性方程及方程组的数值解法，理解迭代法的收敛性与收敛速度. 要求精度为，给定方程与方程组分别为： ； （1-1） ，. （1-2） 1.1 线性迭代和斯蒂芬森加速迭代 对于方程（1-1），分别用线性迭代和斯蒂芬森加速迭代法计算如下： （1）线性迭代法 运行指令： function f=G1(x) f=x^2-3*x+2-exp(x); [xstar,index,it]=bisect(@G1,0,1,1e-6) （2）斯蒂芬森加速迭代法 运行指令： function f=G1(x) f=1/3*(x^2+2-exp(x)) [xstar,index,it]=steffensen(@G1,0,1e-6) 结果整理： 迭代方法 方程的根x 迭代次数 收敛性 线性迭代 0.2575 19 收敛 斯蒂芬森加速迭代 0.2575 3 收敛 1.2 牛顿法及数值比较 用牛顿法求方程（1-1）的根计算如下： 运行指令： function f=G1(x) f=[x^2-3*x+2-exp(x),2*x-3-exp(x)]; [xstar,index,it]=newton(@G1,0,1e-6) 结果整理： 迭代方法 方程的根x 迭代次数 收敛性 线性迭代 0.2575 19 收敛 斯蒂芬森加速迭代 0.2575 3 收敛 牛顿法 0.2575 4 收敛 1.3 MATLAB数值计算 利用Matlab中的函数(fzero)求方程（1-1）的根如下： 运行指令： options=optimset(Display,iter); x=fzero(x^2-3*x+2-exp(x),0.2,options) 结果分析：由运行结果可知，方程（1-1）的解x =0.2575，迭代次数为21次 利用Matlab中的函数(fsolve)求方程组（1-2）的根如下： 运行指令： function f=G1(x) f=[3*x(1)^2-x(2)^2;3*x(1)*x(2)-x(1)^3-1]; x=fsolve(@G1,[0.5;0.5]) 结果分析：由运行结果可知，方程（1-2）的解x1=0.4595，x2=0.7958. 小结 通过本项实验，掌握了求解非线性方程（组）不同迭代方法及其基本原理，不同迭代法具有不同的优点和缺点，线性迭代收敛速度比较慢，但是算法直观简单，斯蒂芬森迭代法可以很好的加速收敛，牛顿迭代法算法简单，也易实现，而且收敛速度也比较快，但是因为局部收敛性，要求对迭代初值的选择要比较恰当，否则，可能不收敛。 注：本实验相关Matlab函数文件见附录A 2 线性方程组直接法的设计与实现 实验目的和任务：理解线性方程组直接法的思想，设计并掌握MATLAB中线性方程组的直接解法，理解方程组的数值稳定性. 给定方程组 ＝； （2-1） =. （2-2） 2.1 LU分解法和列主元消去法 用分解（即高斯消去法）和列主元高斯消去法分解上述两个方程组.输出中矩阵及向量，分解的与，及解向量.结果如下： （1）方程（2-1）的求解 分解法： 运行指令： A=[3.01,6.03,1.99;1.27,4.16,-1.23;0.987,-4.81,9.34];b=[1,1,1]; [L,U,P]=lu(A) ,y=L\(P*b);x=U\y 结果整理： 列主元高斯消去法: 运行指令： [x,det,index