数值分析应用举例..docVIP

《数值分析》综合举例 一、名词解释 1、模型误差：从复杂的实际问题中抽象出数学模型,需要忽略某些次要因素,这种近似产生的误差叫做模型误差； 2、相对误差限：绝对误差与精确值之比，即，称为的相对误差。若存在使，则称为相对误差限； 3、有效数字：若近似数的绝对误差限小于某一数位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有位，则称该近似数有位有效数字； 4、矩阵的条件数：设为可逆矩阵，则称为矩阵的条件数，记为Cond(A)； 5、迭代法的局部收敛：设为在区间上的的一个不动点，若存在的一个邻域，对任意的，相应的迭代格式产生的序列，且收敛于，则称迭代法的局部收敛； 6、插值型求积公式：若求积公式中的求积系数是由插值公式确定的，则称该求积公式为插值型求积公式； 7、代数精度：若求积公式对于任意不高于次的多项式准确成立，而对却不能准确成立，则称该求积公式的代数精度为 8、数值解的局部截断误差：设，且是由某近似公式算出的近似值，则称为数值解公式的局部截断误差。 二、填空题 1、数和分别作为 的近似值有 4 ， 6 位有效数字； 2、已知 ,则 = 2 ,Cond= 2 . 三、基本计算题 1、已知变量的一组数据对点如下 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46 试求关于以上数据的形如的拟合曲线. 解:由y=be两边取对数，可化为：lny(x)=lnb+ax.取=span{1,x},计算可得： 5lnb+7.5a=9.404， 7.5lnb+11.875a=14.422 解之，有lnb≈1.122,a≈0.5056,于是有lny(x) ≈1.122+0.5056x.从而有 y(x) ≈13.071e。 2、已知变量的一组数据对点如下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.78 2.24 2.74 3.74 4.45 5.31 6.92 8.85 10.97 试求关于以上数据的形如的拟合曲线. 解:由y=be两边取对数，可化为：lny(x)=lnb+ax.取=span{1,x},计算可得： 9lnb+45a=13.383， 45lnb+285a=80.513 解之，有lnb≈0.352,a≈0.2266,于是有lny(x) ≈0.352+0.2266x.从而有 y(x) ≈1.422e 3、已知一个三次方程为，试在1.5附近讨论根的存在惟一性，并构造一种收敛的迭代格式，计算该方程在1.5附近的一个根(). 解：格式1: （x）=（） 取x=1.5，用以上2种格式计算，结果如下表： n 方法1 0 1.5 1 1.3483997 2 1.3673764 3 1.3649570 4 1.3652647 … 。。。。 8 1.365230 若用Newton法计算，取x=1.5，计算可得:x=1.3733333，x=1.3652300. 4、已知一个三次方程为，试在1.5附近讨论根的存在惟一性，并构造一种收敛的迭代格式，计算该方程在1.5附近的一个根(). 解：取x=1.5，用收敛迭代格式计算，结果为： 5、用龙贝格积分法求的近似值，其中 解:由公式，，计算可得： 6、用龙贝格积分法求的近似值，其中 解:由公式，，计算可得： 7、用改进的欧拉格式(预估—校正方法)求初值问题 的近似解（取步长，小数点后至少保留七位）. 解: 由改进的Euler方法,有 y=y+[ y-x+1+ y+( y-x+1)-(x+h)+1], 用h=0.2代入，有 y=1.22 y-0.22 x-0.44 x+0.216，n=0，1……… X 改进Euler方法y 0.8 2 8、用改进的欧拉格式(预估—校正方法)求初值问题的近似解（取步长，小数点后至少保留七位）. 解: 由改进的Euler方法,并用h=0.2代入，有 y=1.4y+0.22x+0.02, n=0，1,… 故 四、综合计算题 1、设四阶方阵 1）用紧凑格式求单位下三角阵和上三角阵使； , 2）用以上分解，求解方程组,其中 2、设四阶方阵 , 1）用紧凑格式求单位下三角阵和上三角阵使； , 2）用以上分解，求解方程组,其中； 五、证明与讨论题 1、证明复化梯形公式的余项为。 证:利用梯形公式在各小区间上的余项之和,再由积分中值定理与介值定理可证.详见教材P156光年与课件之讨论。 2、设为阶方阵，为 阶单位阵。且，试证明： 1）为非奇异矩阵； 2）. 证:证明详见教材P11中定理1。5。 3、证明：在中存在一个次数不高于2次的多项式满足： 解:由已知条件可得差