数值分析课件..docVIP

第3章 线性方程组的解法 本章探讨大型线性方程组计算机求解的常用数值方法的构造和原理，主要介绍在计算机上有效快速地求解线性方程组的有关知识和方法. 重点论述Jacobi迭代法、Seidel迭代法、Guass消元法及LU分解法n个变元的线性方程组的一般形式为 （3.3） 式中，aij 称为系数，bi称为右端项，它们都是已知的常数。如果有使方程组（3.3）成立，则称值 为线性方程组的（3.3）的一组解。 本章在不作特别说明的情况下，主要讨论m=n的线性方程组 的求解问题，且假设它有唯一解。 线性方程组的矩阵表示 式中A称为系数矩阵，b称为右端项。 数值分析中，线性方程组的数值解法主要分为直接法和迭代法两大类。 直接法是用有限次计算就能求出线性方程组“准确解”的方法（不考虑舍入误差）；迭代法是由线性方程组构造出迭代计算公式，然后以一个猜测的向量作为迭代计算的初始向量逐步迭代计算，来获得满足精度要求的近似解。 迭代法是一种逐次逼近的方法。 3.3线性方程组的迭代解法 线性方程组迭代解法有Jocobi迭代法、Seidel迭代法及Sor法等 基本思想（与简单迭代法类比） 将线性方程组等价变形为 以构造向量迭代格式 用算出的向量迭代序列去逼近解。 1. 构造原理 1）Jacobi迭代法 （1)将线性方程组（3.4）的第i个变元用其他n-1个变元表出，可得 （3.5） 称（3.5）为不动点方程组。 （2）将（3.5）式写成迭代格式 （3.6） Jacobi迭代格式 （3）取定初始向量，代入，可逐次算出向量序列，这里。 2）Seidel迭代法 3）Sor法 用Seidel迭代算出的与相减得到差向量 下一步迭代 得Sor法的迭代格式 式中参数?称为松弛因子，可以任意选取，当? =1时，Sor法就是Seidel迭代法。 先将其写成不动点方程组 Jacobi迭代 Seidel迭代 Sor迭代 2.迭代分析及向量收敛 三种迭代法的向量迭格式 Ax=b，将系数矩阵A作如下分解 则Ax=b可以写成。假设存在，得Ax=b的等价方程组 由此可得到Jacobi迭代的向量迭代格式 ，称为Jacobi迭代矩阵Seidel向量迭代格式 式中矩阵称为Seidel迭代矩阵，。 Sor法的向量迭代格式 式中矩阵称为超松弛迭代矩阵，，。 三种迭代格式可用一个迭代格式 定义3.1 设向量序列及向量都是中的向量，如果有 成立，,则称收敛于。简记为。 ）范数定义与科学计算中的常用范数 定义3.2 设L是数域K上的一个线性空间，如果定义在L上的实值函数满足 任取，有, 且； 任取，有； 任取，有, 则称是L上的一个范数，称为x的一个范数。范数的定义很象绝对值函数，故常用或表示范数，而范数常记为或。这样，上面范数定义中的3个条件常写为1）任取，有, 且； 2）任取，有； 3）任取，有将其与绝对值比较，是否很象？实际上，很多有关绝对值的运算和结论可以平行引进到有关范数的运算和证明问题中。 数值分析中常用的线性空间有 n维向量空间 矩阵空间 连续函数空 函数空间是由闭区间上所有连续函数组成的集合，其线性运算定义为 加法 数乘 ，为数 在这些空间上，数值分析中常用的范数有 (1)的向量范数 1) ，2) ， 式中向量。 (2) 的矩阵范数 矩阵范数要满足如下四条 1）任取，有,且； 2）任取，有； 3）任取，有 4）任取，有由于线性方程组求解问题中，系数矩阵总是与向量联系在一起的，为描述这种联系，引入如下的算子范数概念。 定义3.3 设矩阵，称 为矩阵A的算子范数。 容易证明，矩阵A的算子范数也是矩阵范数，且满足不等式关系 . 常用的矩阵范数有如下4种 1）列范数： 2）行范数： 3） F范数： 4） 2范数：是最大特征值 以上4个矩阵范数中，是算子范数，不是算子范数。 3）范数等价与向量极限 定义3.4 设是线性空间L上的两个范数，若存在正常数m和M，成立 则称范数是等价范数。 定理3.1 上的所有范数都是等价的。 定理3.2 。 式中是上任何一种范数。 谱半径及其与范数的关系 定义3.5，是A的n个特征值，则称实数 为矩阵A的谱半径。注意如果是复数，表示复数模。