数值代数qr方法实验报告..docVIP

一、引言 很多情况下在工程中抽象出来的数学方程组是超定的，没有精确解，这样就需要找一个在某种意义下最接近精确解的解。设A是m*n的实矩阵，,这样就等价与,为方便求解，需要是上三角矩阵，这样引入分解就比较求解方便。 二、豪斯霍尔德变换 豪斯霍尔德变换（Householder transformation）又称初等反射（Elementary reflection），最初由A.C Aitken在1932年提出，Alston Scott Householder在1958年指出了这一变换在数值线性代数上的意义。这一变换将一个向量变换为由一个超平面反射的镜像，是一种线性变换。其变换矩阵被称作豪斯霍尔德矩阵，在一般内积空间中的类比被称作豪斯霍尔德算子，超平面的法向量被称作豪斯霍尔德向量。 三、理论依据 householder变换：任意的一个向量，经过一个正交变换 后总可以变为一个与之范数相等的另一个向量。 如上图中所示，记，，上述H既为所要求的householder变换。 具体操作时将需要变化的矩阵的每一列当做一个向量，第一列变为除了第一个元素都为0的向量…第i列变为除了前i个元素都为0的向量...为了保证在每次变化时不改变已经变好的0元素，第i次只变化每列第i个元素到第n个元素，每个变化矩阵的形式是[I 0;0 H]。 算法如下：qr_Houserhoilder.m function [Q,R]=qr_Houserhoilder(A) [m,n]=size(A); Q=eye(n); for i=1:n u=house(A(i:m,i)); P=eye(m-i+1)-2/(norm(u)^2)*u*u; A(i:m,i:n)=P*A(i:m,i:n); PP=blkdiag(eye(i-1),P); Q=Q*PP; end R=triu(A); 程序house.m function u=house(Ai) Ai(1)=Ai(1)+sign(Ai(1))*norm(Ai); u=Ai/norm(Ai); 四、数值实验结果： 为了保证在一定阶数下，所做的数值试验具有代表性，我们随机产生3个n阶矩阵，随着n的不断变化，得到如下一系列图： （1）A=rand(4,4) A = 0.3027 0.7894 0.1793 0.3922 0.2364 0.7134 0.4350 0.3936 0.4690 0.0742 0.9747 0.1115 0.5381 0.6768 0.7245 0.8650 [Q,R]=qr_Houserhoilder(A) Q = -0.3735 -0.5369 0.4602 0.6003 -0.2916 -0.5439 -0.7840 -0.0668 -0.5786 0.6445 -0.2679 0.4219 -0.6639 -0.0208 0.3190 -0.6761 R = -0.8106 -0.9951 -1.2387 -0.9001 0 -0.7781 0.2803 -0.3707 0 0 -0.2886 0.1180 0 0 0 -0.3286 test_qr3 err = 1.0e-10 * 0.1950 0.0120 0.0119 0.3029 （2）A=rand(5,5) A = 0.7575 0.7005 0.6420 0.8233 0.8877 0.6373 0.4698 0.5815 0.5290 0.3770 0.6643 0.3036 0.9458 0.7210 0.1295 0.1056 0.0254 0.3903 0.1048 0.3027 0.2813 0.3787 0.5302 0.0627 0.1156 [Q,R]=qr_Houserhoilder(A) Q = -0.6161 0.4378 0.2968 -0.5805 -0.0598 -0.5183 -0.0381 0.2932 0.7098 -0.3743 -0.5403 -0.6729 -0.2440