利用导数判断或求函数的单调区间.docVIP

考点39 利用导数判断或求函数的单调区间 1.（13天津20）(本小题满分14分) 设, 已知函数 (Ⅰ) 证明在区间内单调递减, 在区间内单调递增; (Ⅱ) 设曲线在点处的切线相互平行, 且 证明. 【测量目标】利用导数判断函数单调区间，利用导数解决不等式问题.. 【考查方式】给定直线与函数的位置关系，利用导数研究函数的单调性，通过定义域判断值域，由基本不等式判断最小值等知识. 【试题解析】证明：(1)设函数， ， ①，由， 从而当时，， 所以函数在区间内单调递减．（步骤1） ②，由于， 所以当时，； 当时，. 即函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．（步骤2） 综合①，②及，可知函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．（步骤3） (2)由(1)知在区间内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增．（步骤1） 因为曲线在点处的切线相互平行， 从而互不相等，且．（步骤2） 不妨设，由， 解得，从而.（步骤3） 设，则. 由，解得 ， 所以.（步骤4） 设，则， 因为，所以，（步骤4） 故，即.（步骤5） 2.（13江苏T20）（本小题满分16分） 设函数，，其中为实数. (1) 若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的范围； (2) 若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论. 【测量目标】利用导数求函数的单调性、最值、零点.. 【考查方式】将减函数转化为导函数为负数，函数在定义域上有最小值转化为导函数的零点来求解函数中的未知数; 由导函数恒正得出未知数的范围，再进行分类讨论，来研究函数的零点. 【试题解析】解：（1）令，（步骤1） 考虑到的定义域为，故，进而解得，即在上是单调减函数. 同理，在上是单调增函数. （步骤2） 由于在上是单调减函数，故，从而，即. （步骤3） 令，得. 当时，；当时，. 又在上有最小值，所以，即. 综上所述两种情况，得.（步骤4） （2）当时，必为单调增函数； 当时，令，解得，即. （步骤1） 因为在上是单调增函数，类似（1）有，即. 结合上述两种情况，得.（步骤2） ①当时，由以及，得存在唯一的零点；（步骤3） ②当时，由于，，且函数在上的图象连续，所以在上存在零点. （步骤4） 另外，当时，，故在上是单调增函数，所以只有一个零点. （步骤5） ③当时，令，解得；当时，；当时，，所以是的最大值点，且最大值为.（步骤6） 当，即时，有一个零点.（步骤7） 当，即时，有两个零点. 实际上，对于，由于，，且函数在上的图象连续，所以在上存在零点. 另外，当时，，故在上只有一个零点. （步骤8） 下面考虑在上的情况. 先证. 为此，我们要证明：当时，. 设，则，再设，则.（步骤9） 当时，，所以在上是单调增函数. （步骤10） 故当时，，从而在上是单调增函数，（步骤11） 进而当时，，即当时，.（步骤12） 当，即时，. 又，且函数在上的图象连续，所以在上存在零点. （步骤13） 又当时，，故在上是单调减函数，所以在上只有一个零点. （步骤14） 综合可知，当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2. （步骤15） 3. （13山东T21） (本小题满分12分)已知函数, （1）设，求的单调区间 （2） 设，且对于任意.试比较与的大小 【测量目标】利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式问题. 【考查方式】用导数求含参数函数的单调区间，利用导数证明不等式. 【试题分析】（1）求的单调区间，需要对求导.当是增函数，是减函数，但是需要对参数进行讨论 （2）的最小值为，当有唯一极小值点时，极小值就是最小值，然后构造函数求解. 解：（1）由(步骤1) ① a.若，当，恒成立 所以函数的单调递减区间是.(步骤2) b. 若当 时，，，函数单调递减 ，函数单调递增(步骤3) 所以函数的单调递减区间，单调递增区间是（步骤4） ②当(步骤5) 由得 (步骤6) 显然 当函数单调递减 函数单调递增(步骤7) 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是(步骤8) 综上所述，当，函数的单调递减区间是 当，函数的单调递减区域是，单调递增区域是 当，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.(步骤9) （2）由题意知函数处取最小值， 由是的唯一极小值点(步骤10) 故.整理，即(步骤11) 令(步骤12) 令(步骤13) 单调递增 ,单调递减.(步骤13) 因此， 即(步骤14) 4.（13四川T10）设函数（，为自然对数的底数）．若存在使成立，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【测量目标】函数的概念及其性质、利用导数判断单调区间. 【考