l第6章习题解答.docVIP

习题六 1. 求映射下，下列曲线的像. (1) (，为实数) 解： , 所以将映成直线. (2) (k为实数) 解： 故将映成直线. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）； 解： 所以. 故将映成. (2) Re(z)0. 0Im(z)1, . 解：设z=x+iy, x0, 0y1. Re(w)0. Im(w)0. 若w=u+iv, 则 因为0y1,则 故将Re(z)0, 0Im(z)1.映为Re(w)0,Im(w)0, (以（,0）为圆心为半径的圆) 3. 求w=z2在z=i处的伸缩率和旋转角，问w=z2将经过点z=i且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w平面上哪一个方向？并作图. 解：因为=2z,所以(i)=2i, ||=2,旋转角arg=. 于是,经过点i且平行实轴正向的向量映成w平面上过点-1，且方向垂直向上的向量.如图所示. 　→　 4. 一个解析函数，所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转角的不变性？映射w=z2在z平面上每一点都具有这个性质吗？ 答：一个解析函数所构成的映射在导数不为零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射w=z2在z=0处导数为零，所以在z=0处不具备这个性质. 5. 求将区域0x1变为本身的整体线性质变换的一般形式. 6. 试求所有使点不动的分式线性变换. 解：设所求分式线性变换为(ad-bc0)由.得 因为, 即, 由代入上式，得. 因此 令，得 其中a为复数. 反之也成立，故所求分式线性映射为， a为复数. 7. 若分式线性映射，将圆周|z|=1映射成直线则其余数应满足什么条件？ 解：若将圆周|z|=1映成直线，则映成. 而落在单位圆周|z|=1,所以,|c|=|d|. 故系数应满足ad-bc0,且|c|=|d|. 8. 试确定映射，作用下，下列集合的像. (1) ; (2) |z|=2; (3) Im(z)0. 解：(1) Re(z)=0是虚轴，即z=iy代入得. 写成参数方程为， , . 消去y得，像曲线方程为单位圆,即 u2+v2=1. (2) |z|=2.是一圆围，令.代入得化为参数方程. 消去得，像曲线方程为一阿波罗斯圆.即 (3) 当Im(z)0时，即, 令w=u+iv得 . 即v0,故Im(z)0的像为Im(w)0. 9. 求出一个将右半平面Re(z)0映射成单位圆|w|1的分式线性变换. 解：设映射将右半平面z0映射成w=0，则z0关于轴对称点的像为， 所以所求分式线性变换形式为其中k为常数. 又因为,而虚轴上的点z对应|w|=1,不妨设z=0，则 故. 10. 映射将映射成,实数的几何意义显什么？ 解：因为 从而 所以 故表示在单位圆内处的旋转角. 11. 求将上半平面Im(z)0,映射成|w|1单位圆的分式线性变换w=f(z)，并满足条件 (1) f(i)=0, =0; (2) f(1)=1, f(i)= . 解：将上半平面Im(z)0,映为单位圆|w|1的一般分式线性映射为w=k(Im()0). (1) 由f(i)=0得=i，又由arg,即, ，得，所以 . (2) 由f(1)=1,得k=；由f(i)= ,得k=联立解得 . 12. 求将|z|1映射成|w|1的分式线性变换w=f(z)，并满足条件： (1) f()=0, f(-1)=1. (2) f()=0, , (3) f(a)=a, . 解：将单位圆|z|1映成单位圆|w|1的分式线性映射，为 , ||1. (1) 由f()=0，知.又由f(-1)=1，知 . 故. (2) 由f()=0，知，又 ， 于是 . (3) 先求，使z=a，,且|z|1映成||1. 则可知 再求w=g()，使=0w=a, ,且||1映成|w|1. 先求其反函数,它使|w|1映为||1,w=a映为=0，且 ,则 . 因此，所求w由等式给出. . 13. 求将顶点在0，1，i的三角形式的内部映射为顶点依次为0，2，1+i的三角形的内部的分式线性映射. 解：直接用交比不变性公式即可求得 ∶=∶ .=. . 14. 求出将圆环域2|z|5映射为圆环域4|w|10且使f(5)=-4的分式线性映射. 解：因为z=5,-5,-2,2映为w=-4,4,10,-10,由交比不变性，有 ∶=∶ 故w=f(z)应为 ∶=∶ 即 =. 讨论求得映射是否合乎要求，由于w=f(z)将|z|=2映为|w|=10，且将z=5映为w=-4.所以|z|2映为|w|10.又w=f(z)将|z|=5映为|w|=4，将z=2映为w=-10，所以将|z|5映为|w|4