(新)弹性力学基础 应力应变——精品.pptVIP

空间问题的平衡微分方程 考虑问题的基础知识：静力学知识 微分单元体：正平行六面体，每个边界面都是坐标平面，各坐标面上有三个应力分量。 　应力符号约定 （1）正坐标面：外法线方向沿坐标轴正向的坐标面 　　应力沿坐标轴正向时取正值，沿坐标轴负向时取负值；反之亦然。 （2）负坐标面：外法线方向沿坐标轴负向的坐标面 　　应力沿坐标轴正向时取负值，沿坐标轴负向时取正值；反之亦然。 由泰勒级数展开，求各面应力 空间问题的平衡微分方程 分析问题方法：空间力系和力矩的平衡条件（6个） 意义：弹性体区域内任一点的微分体的平衡条件 平衡微分方程 切应力互等定理 平衡微分方程：注意事项 列平衡条件时，应力和体力应分别乘以其作用面积和体积，才能得到合力； 应用了两个基本假设：连续性假设和小变形假设，也是其适用的条件。 平衡微分方程中各个量的量纲都相同，其中第一式的各项为x方向的量，第二项为y方向的量，第三项为z方向的量； 平衡微分方程：注意事项 空间问题的平衡微分方程有3个方程，但包含有6个未知函数，只根据静力学条件无法定解，即是超静定的。要想定解，还必须考虑几何学和物理学方面的条件。 平衡微分方程表示了弹性体内任意点的微分单元体的平衡条件，必然保证任一有限大部分和整个区域是满足平衡条件的，因而所考虑的静力学条件是严格和精确的； 空间问题的基本未知量与基本方程 物体内任一点的应力状态分析 空间问题的平衡微分方程 空间问题的几何方程和物理方程 空间轴对称问题的基本方程 主要内容 §5.4 空间问题的几何方程及物理方程 几何方程：位移与应变的关系，分为线应变和切应变 空间问题的位移边界条件：在给定约束位移的边界面上，位移分量在边界面上的值与边界上的约束位移值相等。 体应变：单位体积的体积改变 空间问题的物理方程 物理方程：应力与应变的关系，又称本构方程和广义胡克定律。 E 为杨氏模量 G 为剪切弹性模量 m 为横向变形系数—泊松比 对于理想弹性体，按应力表示为 用于按应力求解的方法。 空间问题的物理方程 按应变表示的物理方程为 用于按位移求解的方法。 总结：基本未知量与方程 位移分量 ux uy uz 应变分量 ex ey ez gxy gxz gyz 应力分量 sx sy sz txy txz tyz 体力f 几何方程 物理方程 平衡微分方程 已知位移 已知面力 变形协调方程 位移边界条件 应力边界条件 混合边界条件 例　题 例题：将立方体的橡皮放在一同样大小的刚性体铁盒容器内，其上用铁盖封闭，铁盖上受均匀分布垂直压力 q 作用，假设橡皮与容器间无摩擦力，试求橡皮中的应力分量与应变分量。 例　题 1、建立求解的直角坐标系 2、橡皮在力的作用下会发生形变，但由于容器为刚性体，因此其在 x 和 y 两个方向变形受到约束，位移u=v= 0，相应的正应变ex= ey= 0。 5、由于橡皮与容器间无摩擦力，因此切应力均为 0 ，切应变也为0。 4、将上述条件代入物理方程，可解得sx和 sy，进而求ez 3、橡皮的上边界受均匀分布垂直压力 q 作用，因此有 　 sz= -q （见§8.2内容） 空间问题的基本未知量与基本方程 物体内任一点的应力状态分析 空间问题的平衡微分方程 空间问题的几何方程和物理方程 空间轴对称问题的基本方程 主要内容 §5.5 空间轴对称问题的基本方程 空间轴对称：弹性体的形状、约束和外力都是对称于某一轴，通过对称轴的任何平面均是对称面，则所有物理量（应力、应变和位移）都对称于该轴。宜采用圆柱坐标系（r, j, z）。 由于对称，在对称面两边对应点的物理量满足如下两个条件 　　（1）数值轴对称：所有物理量与环向坐标 j 无关，同一环向线上的值相等，且只是径向坐标 r 和轴向坐标 z 的函数。 　　（2）方向轴对称，即方向对称于 z 轴，方向不对称于 z 轴的物理量不能存在，从而有： 轴对称问题的平衡微分方程 由径向轴 r 和轴向 z 两个方向的空间力系的平衡条件，可推导出“平衡微分方程”： 整理可得 （7-15） 轴对称问题的几何方程 通过与§2.4及§4.2中相同的分析方法，可见由于径向位移 ur 引起的形变为 由于轴向位移 uz 引起的形变为： 根据叠加原理，将两组形变叠加，得轴对称问题的几何方程： （7-16） 轴对称问题的物理方程 由于本构方程是弹性体弹性参数的反映，与坐标系的选择无关。对于直角坐标系和柱坐标系，因为它们都是正交坐标系，因此两坐标系下的物理方程具有相同的形式。 物理方程：应力与应变的关系 （7-17） 第一讲应力圆与空间应力 空间问题的基本未知量与基本方程 物体内任一点的应力状态分析 空间问题的平衡微分方程 空间问题的几何方程和物理方程