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高三数学竞赛讲座 －应用题选讲 ?应用题联系实际，生动地反映了现实世界的数量关系，能否从具体问题中归纳出数量关系，反映了一个人分析问题、解决问题的实际能力. 列方程解应用题，一般应有审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等几个步骤.下面从几个不同的侧面选讲一部分竞赛题，体现解应用题的技能和技巧. 1.合理选择未知元 例1?某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，以每小时9千米的速度走平路到B地，共用55分钟.回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用小时，求A、B两地相距多少千米？ 例2?若一商人进货价便谊8%，而售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的x%增加到(x+10)%，x等于多少？ 例3? 在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合？ 例4从两个重为m千克和n千克，且含铜百分数不同的合金上，切下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后，两者的含铜百分数相等，问切下的重量是多少千克？ 2.多元方程和多元方程组 例5 A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相赠送，先由A给B、C，所给的豆数等于B、C原来各有的豆数，依同法再由B给A、C现有豆数，后由C给A、B现有豆数，互送后每人恰好各有64粒，问原来三人各有豆多少粒？ 例6某工厂有九个车间，每个车间原有一样多的成品，每个车间每天能生产一样多的成品，而每个检验员检验的速度也一样快，A组8个检验员在两天之间将两个车间的所有成品（所有成品指原有的和后来生产的成品）检验完毕后，再去检验另两个车间的所有成品，又用了三天检验完毕，在此五天内，B组的检验员也检验完毕余下的五个车间的所有成品，问B组有几个检验员？ 3.关于不等式及不定方程的整数解 例7把若干颗花生分给若干只猴子，如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子得不到5颗，求猴子的只数和花生的颗数. 例8在一次射箭比赛中，已知小王与小张三次中靶环数的积都是36，且总环数相等，还已知小王的最高环数比小张的最高环数多（中箭的环数是不超过10的自然数），则小王的三次射箭的环数从小到大排列是多少？ 例9一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的乘客人数相等，起初，每辆汽车乘了22人，结果剩下一人未上车；如果有一辆汽车空车开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上，已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？ 4.应用题中的推理问题 竞赛中常见的应用题不一定是以求解的面目出现，而是一种逻辑推理型.解答这类题目不仅需要具备较强的分析综合能力，还要善于用准确简练的语言来表述自己正确的逻辑思维. 例10有一种体育竞赛共含M个项目，有运动员A、B、C参加，在每个项目中，第一、二、三名分别得p1、p2、p3分，其中p1、p2、p3为正整数且p1＞p2＞p3，最后A得22分，B与C均得9分，B在百米赛中取得第一，求M的值，并问在跳高中谁取得第二名？ 分析? 考虑三个得的总分，有方程： M(p1+p2+p3)=22+9+9=40,?????????? 又??????? p1+p2+p3≥1+2+3=6，??? ∴6M≤M(p1+p2+p3)=40，从而M≤6. 由题设知至少有百米和跳高两个项目，从而M≥2， 又M|40，所以M可取2、4、5. 考虑M=2，则只有跳高和百米，而B百米第一，但总分仅9分，故必有：9≥p1+p3,≤8，这样A不可能得22分. 若M=4，由B可知：9≥p1+3p3，又p3≥1，所以p1≤6,若p1≤5，那么四项最多得20分，A就不可能得22分，故p1=6. 4（p1+p2+p3）=40,p2+p3=4. 故有：p2=3,p3=1,A最多得三个第一，一个第二，一共得分3×6+3=21＜22，矛盾. 若M=5，这时由5(p1+p2+p3)=40，得： p1+p2+p3=8.若p3≥2，则： p1+p2+p3≥4+3+2=9，矛盾，故p3=1. 又p1必须大于或等于5,否则,A五次最高只能得20分,与题设矛盾,所以p1≥5. 若p1≥6，则p2+p3≤2，这也与题设矛盾，p1=5，p2+p3=3，即p2=2，p3=1. A=22=4×5+2. 故A得了四个第一，一个第二； B=9=5+4×1， 故B得了一个第一，四个第三； C=9=4×2+1， 故C得了四个第二，一个第三. ???????????????????????????? 练 习五 1.选择题 （1）打开A、B、C每一个阀门，水就以各自不变的速度注入水槽.当所有三个阀门都打开时，注满水槽需1小时；只打开A、C两个阀门，需要1.5小时；如果只打开B、C两个阀门，需要2小时，若只打开A、B两个阀门时，注满水槽所需的小时数是（? ）.