3-MathPreliminary1..docVIP

算法分析的数学基础 生成函数（母函数） 在进行计数分析时，常常会遇到递推方程，形如： an=cn-1*an-1 + cn-2*an-2 + … + cr*ar (cr≠0) 求解时使用生成函数的方法。 e.g. Fibonacci数列：满足关系an=an-1+an-2 （该类数有很多好的性质） 普通与指数生成函数的定义： 设{a0，a1，a2，…，an，…}是某一数域 （e.g. 有理数，实数，复数）上的数的序列， {μ0(x), μ1(x), μ2(x), … ,μn(x), …} 是同一数域上相互独立的函数序列，则称函数 F(x)=a0μ0(x)+ a1μ1(x)+ a2μ2(x)+ … + anμn(x)+ … 是序列{ a0，a1，a2，…，an，…}的普通生成函数 （普母函数）称函数G(x) = a0μ0(x)/0! + a1μ1(x)/1! + a2μ2(x)/2! + … +anμn(x)/n! + …是序列{a0，a1，…，a2，…}的指数生成函数， （指母函数形状类似于ex的展开形式） 相互独立（independent）的函数序列： 设{μ0(x), μ1(x), μ2(x), … ,μn(x), …}是 某一数域上的函数序列， （x的值以及μk(x)（k=0,1,2, …）的值都在同一个数域中） 任取μk(x)（k=0,1,2, …），不存在数域中的数?1，?2，…，?p，使得μk (x) = ?1μi1(x) + ?2μi2(x) + … + ?pμip(x) ， 即任何一个函数项μk(x)不能被其它函数项线性表出。 e.g. {1，x，x2，x3，…，xn，…}是相互独立的， 而{1，1+x，1-x，1+x2，1-x2，…}不是相互独立的， ∵1=1/2((1+x)+(1-x))。 如使用第二个函数序列来构造普通生成函数， 则序列{1,0,0,0, …}和{0,1/2,1/2,0, …}所对应的普通生成函数是相同的，序列与其生成函数之间没有1-1对应关系。 ∴函数序列的相互独立性 保证了序列与其生成函数之间的1-1对应。 生成函数的函数序列大多用{1，x，x2，x3，…，xn，…}， 在得到一个数列的生成函数之后， 幂级数展开后xn前的系数就是数列的通项an。 普通生成函数的两种主要应用： 1. 解排列组合类问题 2. 求解递归方程 解排列组合类问题 e.g. (1+x)n=+x+x2+…+xn（二项式定理） 是序列{，，…，}的普通生成函数。 令x=-1,代入得++ +…=+++… 。 即从n个不同的物体中选取偶数个物体的方法数等于 从n个不同的物体中选取奇数个物体的方法数。 其它应用可参看组合数学/组合分析教材。 求解递归方程 e.g. Fibonacci数an=an-1+an-2 a0=1，a1=1(边界条件)， 则可以算出序列为{1，1，2，3，5，8，…}，an=? 设A(x)=根据an=an-1+an-2可有anx=(an-1+an-2)xn, 从2开始对等式两边分别求幂级数，得=(an-1+an-2)xn。由于=A(x)-a1x-a0，而 (an-1+an-2)x=an-1xn+an-2xn=x(A(x)-a0)+x2A(x), ∴A(x)-a1x-a0=x(A(x)-a0)+x2A(x),令A(x)=z, 则有z-x-1=x(z-1)+zx2。可解得：z=A(x)=1/(1-x-x2)。将1/(1-x- x2)幂级数展开后，xn前的系数就是Fibonacci数列的通项an。 常系数线性递归方程(差分方程)： c0an+c1an-1+…+cran-r=f(n) (*) (这里c0*cr≠0) e.g. 3an-5an-1+2an-3=n2+5 线性：所有ai都是一次的。非线性：含有ai2或如aiaj之类的乘积项。 求解常系数线性递归方程c0an+c1an-1+…+cran-r=f(n)需要r个连续的边界条件 e.g. Fibonacci方程 r=2，求解该方程需要两个连续的边界条件。 若f(n)≠0，则称方程c0an+c1an-1+…+cran-r=f(n)非齐次的；若f(n)=0，则称方程c0an+c1an-1+…+cran-r=是齐次的。 类似于常微分方程，称c0xr+c1xr-1+…+cr=0 (**) 为方程c0an+c1an-1+…+cran-r=f(n)所对应的特征方程c0an+c1an-1+…+cran-r=f(n)，有四个定理。 Th1：若特征方程(**)恰有r个互不相同的特征根?1，?2，…，?r (即i≠j时有?i≠?j)，则齐次方程的通解齐通解，通解为an = A1?1n + A2?2n + … + Ar?rn （A1～Ar为待