最佳一致和平方逼近-1.ppt

2、内积的性质 设 是一内积空间，则对任意的 ，有 （1）柯西—许瓦兹不等式： （2）三角不等式： 二、内积空间上的最佳平方逼近 1．函数系的线性关系 定义： 若函数 ，在区间 上连续， 如果关系式 当且仅当 时才成立， 函数在 上是线性无关的，否则称线性相关。 则称 连续函数 在 上线性无关的 充分必要条件是它们的克莱姆(Gram)行列式 定理 其中 2、离散数据的最佳平方逼近 定义4.17 设 是线性无关的。令 求 使得 取最小值 3. 最佳平方逼近最小值的求解 此方程组称为法方程组。 方程的解 使得 取得最小值 其中 例 4.21 观测物体的直线运动，得出如下数据 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 0 10 30 51 80 111 解：作图可知运动曲线近似为抛物线。设拟合函数为 即取 记 将以上数据代入正规方程组中得到 解得 4. 连续函数的最佳平方逼近 定义 对于给定的函数 ，若n次多项式 满足关系式 则称P*(x)为f (x)在区间[a, b]上的n次最佳平方逼近多项式。 5. 连续函数最佳平方逼近的求解 此方程组称为法方程组。 方程的解 使得 取得最小值 其中 例 设 ，求[0，1]上的一次最佳 平方逼近多项式 解： 由方程组 ， 解出 最佳一致逼近 王坤 §1 最佳一致逼近 一、最佳一致逼近的概念 设函数 是区间 对于任意 ，如果存在多项式 ，使不等式 则称多项式 在区间 上一致逼近 (或均匀逼近)于函数 定义 上的连续函数， 给定的 成立， 。 所谓最佳一致逼近问题就是对给定的区间 上的连续函数 ，要求一个代数多项式 , 使得 其中， 代表由全体代数多项式构成的集合。 称为最佳一致逼近多项式 §2 最佳一致逼近多项式 一、最佳一致逼近多项式的存在性 定理4.9 在 中都存在对 的最佳一致逼近多项式,记为 的n次最佳一致逼近多项式。 称 为 简称最佳逼近多项式。 ,使得 成立. 对任意的 二、相关概念 1、偏差 定义 上的偏差。 则称 为 与 在 注： ， 集合，记作 ，它有下界0。 显然， 若 的全体组成一个 2、偏差点 定义 设 若在 上有 则称 是 的偏差点。 若 若 则称 则称 为“正”偏差点。 为“负”偏差点。 三、 上的最佳一致逼近的特征 引理4.1 是区间 上的连续函数， 是 的n次最佳一致逼近多项式， 存在正负偏差点。 则 设 必同时 定理 4.10（ Chebyshev定理） 是区间 上的连续函数， 设 则 是 的n次最佳一致逼近多项式的充要条件是: 在区间 上存在一个至少有 个交错偏差点组成， 即有 个点 使得： （i=0,1,…,n+1） 其中σ=1或σ=-1 推论4.1 是区间 上的连续函数， 是 的n次最佳一致逼近多项式， 在 内存在且保号， 在区间 个交错偏差点， 端点 都是偏差点。 上恰好存在一个有 设 若 则 且两 四、一次最佳逼近多项式 1、推导过程 设 ，且 在 内不变号， 要求 在 上的一次最佳一致逼近多项式 由推论1， 在 上恰好有3个点构成的交错 且区间端点 属于这个交错点组， 组， 设另一个交错点为 则 解得 即 即 2、几何意义 设在区间[-1,1]上，函数 的（n-1）次最佳 一致逼近多项式 误差函数f(x)- 五、 Chebyshev多项式 (1)定义 称 为n次Chebyshev多项式. [注] It is very important 令 则 而 故 为关于 的 次代数多项式。 (2)性质 正交性： 由{ Tn (x)}所组成的序列{ Tn (x)}是在区间[-1, 1]上带权 的正交多项式序列。 ? 且 递推关系 相邻的三个切比雪夫多项式具有如下递推关系式： ? 奇偶性： 切比雪夫多项式 ，当 为奇数时为奇函数； ? 为偶数时为偶函数。 在区间[-1, 1]上有 个不同的零点 ? Tn (x) 在[-1, 1]上有n + 1个不同的极值点 使Tn (x)轮流取得最大值 1 和最小值 -1。 ? 切比雪夫多项式的极值性质 Tn (x) 的最高次