曲线的参数方程-1.ppt

* 一、曲线的参数方程 在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，在求某些曲线方程时，直接确定曲线上的点的坐标x,y的关系并不容易，但如果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以方便地得出坐标x,y所要适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程f(x,y)＝0。下面我们就来研究求曲线参数方程的问题。 1、参数方程的概念 1、参数方程的概念 探究： 一架救援飞机在离灾区地面500m的高处以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？ A M(x,y) x y o 飞机在A点将物资投出机舱，在经过飞行航线（直线）且垂直 与地面的平面上建立平面直角坐标系，其中x轴为地平面与这 个平面的郊交线，y轴经过A点。 记物资投出机舱时为时刻0，在时刻t时物资的位置为点M（x,y）, 则x表示物资的水平位置，y表示物资距地面的高度。由于水平位移 量x与高度y是由两种不同的运动得到的，因此直接建立x,y所要满足 的关系式并不容易。 换个角度看这个问题。 由物理知识，物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： （1）沿ox作初速为100m/x的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。 一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。 二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。 三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 请用自己的语言来比较一下参数方程与普通方程的异同点 2、圆的参数方程 x o y M(x,y) 圆周运动是生产生活中常见的。当物体绕定轴做匀速转动时，物体中各个点都做匀速圆周运动，那么怎样刻画运动中点的位置呢？ 设圆O的半径为r，点M从初始位置 出发，按逆时针方向在圆O上做匀速圆周运动，点M绕点O转动的角速度为ω。以圆心O为原点， 所在直线为x轴，建立直角坐标系。显然，点M的位置由时刻t 惟一确定，因此可取t为参数。 r 圆的参数方程的一般形式 由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示 的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。 练习 1 已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它化为参数方程。 解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程， （x+1）2+（y-3）2=1， ∴参数方程为 (θ为参数) 例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。 y o x P M Q(6,0) o x P M Q(6,0) 分析：取 为 参数，则圆O的参数方程是 （θ为参数），当θ变化是，动点P在定圆O上运动，线段PQ也随之变动，从而使点M远动，因此点M的运动可以看成是由角θ 决定的。于是，选θ 为参数是适合的。 思考：这里定点Q在圆O上外，你能判断这个轨迹表示什么曲线呢？如果定点Q在圆O上，轨迹是什么？如果定点Q在圆O内，轨迹又是什么？ 练习 （2，1） 3、参数方程和普通方程 的互化 将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如 ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 那么 就是曲线的参数方程。 参数方程和普通方程的互化： （1）普通方程化为参数方程需要引入参数 如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程 （t为参数） ②在普通方程xy=1中，令x = tan?,可以化为参数方程