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含参量反常积分的一致收敛判别法及推广 作者：蒋碧希 指导老师：张海 摘要 本文主要介绍了含参量反常积分（含参量无穷限反常积分、含参量瑕积分）的基本概念、性质.然后参照无穷限反常积分的方法建立了相应的含参量瑕积分的一致收敛性.最后结合例题说明其在解题中的应用. 关键词 含参量无穷限反常积分 含参量瑕积分 一致收敛 1 引言 对于含参量无穷限反常积分的基本概念、性质、一致收敛性判别法大部分教材都有详细论述.而忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定,其实两者之间是同中有异的.本文主要参照无穷限反常积分的方法建立相应的含参量瑕积分的一致收敛判别法，并探究其在解题中的应用. 2 含参量无穷限反常积分的一致收敛判别法 2.1 含参量无穷限反常积分的定义 设函数定义在无界区域上，若对每一个固定的，反常积分 都收敛，则它的值是在上取值的函数，当这个函数为时，则有 称式为定义在上的含参量的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分. 2.2 含参量反常积分的一致收敛概念 若含参量反常积分与对任给的正数，总存在某一实数，使得当时，对一切，都有 , 即 ， 则称含参量反常积分在一致收敛于，或简单地说含参量积分在上一致收敛. 2.3含参量无穷限反常积分一致收敛的柯西准则 含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是：对任給的正数，总存在某一实数，使得当时，对一切，都有 , 证明 （必要性） 由于含参量反常积分在上一致收敛，则 对,,时，使得时，有 , 且 由 可知：，当时， 有 . （充分性) 因为，总存在某一实数，使得时，对一切 ，都有 , 当时，有 成立. 故 在上是一致收敛的. 又因为 , 其中是含参量正常积分，故一致收敛. 所以 在上是一致收敛的. 2.4 含参量无穷限反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛的联系 定理2.4.1 含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列（其中），函数项级数 在上一致收敛. 证明 (必要性）由在上一致收敛，故对任给，必存在，使当时，对一切，总有 . 又由，所以对正数,存在正整数,只要当时，就有.由对一切，就有 . 这就证明了级数在上一致收敛. (充分性) 用反证法.假若在上不一致收敛，则存在某个正数，使得对于任何实数，存在相应的和，使得 , 现取，则存在及，使得 一般的，取，则有及，使得 由上述所得到的数列是递增数列，且.现在考察级数 由式知存在正数，对任何正整数,只要,就有某个，使得 这与级数在上一致收敛的假设矛盾.故含参量反常积分在上一致收敛 2.5 含参量无穷限反常积分的一致收敛性判别法 定理 2.5.1 （维尔斯特拉斯判别法）设有函数，使得 若收敛，则在上一致收敛. 定理 2.5.2 （狄利克雷判别法）设 对一切实数，含参量正常积分 对参量在上一致有界，即存在正数,对一切及一切，都有 对每一个，函数关于是单调递减且当时，对参量一致的收敛于，则含参量反常积分 在上一致收敛. 定理 2.5.3 （阿贝尔判别法） 设 在上一致收敛； 对每一个，函数为的单调函数，且对参量在上一致有界，则含参量反常积分 在上一致收敛. 2.6 含参量无穷限反常积分的性质 定理2.6.1 （连续性） 设在上连续，若反常积分 在上一致收敛，则在上连续. 证明 由定理2.4.1，对任意递增且趋于的数列，函数项级数 在上一致收敛.又由于在上连续，故每个都在上连续.根据函数项级数的连续性定理，函数在上连续. 定理2.6.2 （可微性） 设 与在区域上连续，若在上收敛，在上一致收敛，则在上可微，且