[连分数.docVIP

连分数[编辑] （重定向自連分數） 在数学中，连分数或繁分数即如下表达式： 这里的 是某个整数而所有其他的数 都是正整数。可依样定义出更长的表达式。如果部分分子（partial numerator）和部分分母（partial denominator）允许假定任意的值，在某些上下文中可以包含函数，则最终的表达式是广义连分数。在需要把上述标准形式与广义连分数相区别的时候，可称它为简单或正规连分数，或称为是规范形式的。 目录 [隐藏] 1 例子 2 动机 3 连分数表示的算法 4 连分数的表示法 5 有限连分数 6 连分数的倒数 7 无限连分数 8 一些有用的定理 8.1 定理 1 8.2 定理 2 8.3 定理 3 8.4 定理 4 8.5 定理 5 9 半收敛 10 最佳有理数逼近 11 连分数历史 12 参见 13 注释 14 外部链接 15 参考文献 例子[编辑] 连分数常用于无理数的逼近，例如： 由此得到的渐近分数 、、、、…… 由此得到黄金分割的渐近分数 、、、、、、…… 注意将上述系列的分子分母依序排列均可得到斐波那契数列。 由此得到圆周率的渐近分数 、（约率）、、（密率）、、…… 数学上可以证明，由（狭义）连分数得到的渐近分数，在分子或分母小于下一个渐进分数的分数中，其值是最接近精确值的近似值。 动机[编辑] 研究连分数的动机源于想要有实数在“数学上纯粹”的表示。 多数人熟悉实数的小数表示： 这里的 a0 可以是任意整数，其它 ai 都是 {0, 1, 2, ..., 9} 的一个元素。在这种表示中，例如数 π 被表示为整数序列 {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, ...}。 这种小数表示有些问题。例如，在这种情况下使用常数 10 是因为我们使用了 10 进制系统。我们还可以使用 8 进制或 2 进制系统。另一个问题是很多有理数在这个系统内缺乏有限表示。例如，数 1/3 被表示为无限序列 {0, 3, 3, 3, 3, ....}。 连分数表示法是避免了实数表示的这两个问题。让我们考虑如何描述一个数如 415/93，约为 4.4624。近似为 4，而实际上比 4 多一点，约为 4 + 1/2。但是在分母中的 2 是不准确的；更准确的分母是比 2 多一点，约为 2 + 1/6，所以 415/93 近似为 4 + 1/(2 + 1/6)。但是在分母中的 6 是不准确的；更准确分母是比 6 多一点，实际是 6+1/7。所以 415/93 实际上是 4+1/(2+1/(6+1/7))。这样才准确。 去掉表达式 4 + 1/(2 + 1/(6 + 1/7)) 中的冗余部分可得到简略记号 [4; 2, 6, 7]。 实数的连分数表示可以用这种方式定义。它有一些可取的性质： 一个数的连分数表示是有限的，当且仅当这个数是有理数。 “简单”有理数的连分数表示是简短的。 任何有理数的连分数表示是唯一的，如果它没有尾随的 1。（[a0; a1, ... an, 1] = [a0; a1, ... an + 1]） 无理数的连分数表示是唯一的。 连分数的项会循环，当且仅当它是一个二次无理数（即整数系数的二次方程的实数解）的连分数表示[1][2]。 数 x 的截断连分数表示很早产生 x 的在特定意义上“最佳可能”的有理数逼近（参阅下述定理 5 推论 1）。 最后一个性质非常重要，且传统的小数点表示就不能如此。数的截断小数表示产生这个数的有理数逼近，但通常不是非常好的逼近。例如，截断 1/7 = 0.142857... 在各种位置上产生逼近比，如 142/1000、14/100 和 1/10。但是明显的最佳有理数逼近是“1/7”自身。π 的截断小数表示产生逼近比，如 31415/10000 和 314/100。π 的连分数表示开始于 [3; 7, 15, 1, 292, ...]。截断这个表示产生极佳的有理数逼近 3、22/7、333/106、355/113、103993/33102、...。 314/100 和 333/106 的分母相当接近，但近似值 314/100 的误差是远高于 333/106 的 19 倍。作为对π的逼近，[3; 7, 15, 1] 比 3.1416 精确 100 倍。 连分数表示的算法[编辑] 考虑实数 r。设 i 是 r 的整数部分，而 f 是它的小数部分。则 r 的连分数表示是 [i; …]，这里的“…”是 1/f 的连分数表示。习惯上用分号取代第一个逗号。 要计算实数 r 的连分数表示，写下 r 的整数部分（技术上 floor）。从 r 减去这个整数部分。如果差为 0 则停止；否则找到这个差的倒数并重复。这个过程将终止，当且仅当 r 是有理数。 找出 3.245