解三角形期末小结解三角形期末小结.doc

第一章 解三角形 第1讲 正弦定理和余弦定理 知 识 梳 理 ★ 三角形内角和定理： 在中，； (1)；(2); (3) 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一： (解三角形的重要工具) 形式二： (边角转化的重要工具) 形式三：;形式四： (合比性质) 3.关于三角形面积问题 ①=aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； ②＝absinC＝bcsinA＝acsinB； ③＝2R2sinAsinBsinC.（R为外接圆半径） ④＝； ⑤＝,； ⑥＝·p( r为△ABC内切圆的半径) 4、判断三角形解的个数： （一）若角A是锐角 （二）若角A是钝角 4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一： (解三角形的重要工具) 形式二： ； ； cosC= 形式三：若，则；若，则 （特殊形式） 勾股定理与余弦定理的之间的关系. 由可得 若A为直角，则a2=b2+c2 若A为锐角，则a2b2+c2 若A为钝角，则a2b2+c2 因此，余弦定理可以看做是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特殊情况. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，利用内角和定理实现三内角之间的转换，解题时应注意四大定理的正用、逆用和变形用 2.难点：根据已知条件,确定边角转换. 3.重难点：通过正弦定理和余弦定理将已知条件中的角化为边或边化为角后,再实施三角变换的转化过程以及解三角形中的分类讨论问题. (1) 已知两边和其中一对角,.求另一边的对角时要注意分类讨论 问题1: 在中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 （ ） A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 点拨：在解三角形中涉及到对边对角问题一般用正弦定理，由正弦值定角的原则是大边对大角。由得，又故有两解 答案B. 在解三角形时要注意充分利用平面几何的性质 问题2: 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积 点拨 :如图连结BD，则有四边形ABCD的面积 S=S△ABD+S△CDB=·AB·ADsinA+·BC·CD·sinC ∵A+C=180°，∴sinA=sinC 故S=(AB·AD+BC·CD)sinA=(2×4+6×4)sinA=16sinA 由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2－2AB·AD·cosA=20－16cosA 在△CDB中，BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC ∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA， ∴64cosA=－32，cosA=－， 又0°＜A＜180°， ∴A=120°故S=16sin120°=8 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1: 运用正、余弦定理求角或边 （1）必须条件：至少知道一个边 （2）知道三个条件（两角一边，两边一角，三边）求其它三个 题型1.求三角形中的某些元素 【新题导练】 1.在△ABC中，a＝1，b＝，B＝60°，求c. 解析：由余弦定理得 ()2＝12＋c2－2ccos60°， ∴c2－c－6＝0， 解得c1＝3，c2＝－2(舍去). ∴c＝3. 2．若在△ABC中，求△ABC外接圆的半径R. 解析: 题型2判断三角形形状 [例3]在△ABC中，bcosA＝cosB，试判断三角形的形状. 【解题思路】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理 [解析]：方法1：利用余弦定理将角化为边. ∵bcosA＝cosB ∴ ∴ ∴ ∴ 故此三角形是等腰三角形. 方法2：利用正弦定理将边转化为角. ∵bcosA＝cosB 又b＝2RsinB，＝2RsinA ∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB ∴sinAcosB－cosAsinB＝0 ∴sin（A－B）＝0 ∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π ∴A－B＝0，即A＝B故三角形是等腰三角形. 【名师指引】判断三角形形状时一般从角入手，利用三角形内角和定理，实施关于三角形内角的一些变形公式. 【新题导练】 3.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ） A