高中数学2.5 圆锥曲线的共同性质.docVIP

§2.5圆锥曲线的共同性质 要点精讲 椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质： 圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线l(F不在定直线上)的距离之比是一个常数e 这个常数e叫做圆锥曲线的离心率，定点F就是圆锥曲线的焦 椭圆的离心率满足0e1，双曲线的离心率e1，抛物1． 根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是 典型题解析 【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线； ②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆； ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线有相同的焦点. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e的关系求得 【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P到两定点是A,B之间的距离的差的绝对值为常数2a, 且,那么P点的轨迹为双曲线,故①错， 由,得P为弦AB的中点,故②错， 设的两根为则可知两根互与为倒数,且均为正,故③对， 的焦点坐标(),而的焦点坐标(),故④正确. 【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e的相互关系. 【例2】设曲线有4个不同的交点． （Ⅰ）求θ的取值范围； （Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围． 【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力． 【解】（I）两曲线的交点坐标（x，y）满足方程组 即 有4个不同交点等价于且即 又因为所以得的取值范围为（0， （II）由（I）的推理知4个交点的坐标（x，y）满足方程 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为 因为在上是减函数，所以由知r的取值范围是 【例3】设双曲线C的中心在原点，以抛物线y2=2x－4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． y=kx＋1，是否存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点A．B关于直线y=ax(a为常数)对称，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由． 【分析】（Ⅰ）由已知条件判断双曲线C的焦点在x轴上，然后求双曲线标准方程中的a，b； （Ⅱ）利用弦长公式求|AB|； （Ⅲ）假设存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点A．B关于直线y=ax(a为常数)对称求k值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点A．B关于直线y=ax(a为常数)对称． 【解】（Ⅰ）由抛物线y2=2x－4，即y2=2 (x－)， 可知抛物线顶点为（，0），准线方程为x=． 在双曲线C中，中心在原点，右焦点（，0），右准线x=， ∴ ∴双曲线c的方程3x2－y2=1 （Ⅱ）由 ∴|AB|=2 （Ⅲ）假设存在实数k，使A．B关于直线y=ax对称，设A(x1，y1)．B(x2，y2)， 则 由 ④ 由②③，有a(x1＋x2)=k(x1＋x2)＋2 ⑤ 由④知：x1＋x2=代入⑤ 整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k，使A．B关于直线y=ax对称． 【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上． 【例4】已知椭圆的左、右焦点分别是 ，是椭圆外的动点，满足， 点Ｐ是线段与该椭圆的交点，点Ｔ在线段上，并且 ． 为点Ｐ的横坐标，证明 ； （Ⅲ）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△的面积．若存在，求 的正切值；若不存在，请说明理由． 【分析】本小题主要考查平面向量的概，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应 用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.. （Ⅰ）证法一：设点P的坐标为 由P在椭圆上，得 由，所以 证法二：设点P的坐标为记 则 由，得 ． 证法三：设点P的坐标为 椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即 由，所以 （Ⅱ）解法一：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时， 由，得. 又，所以T为线段F2Q的中点. 在△QF1F2中，，所以有 综上所述，点T的轨迹C的方程是 解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时，由，得. 又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则 因此 ① 由得 ② 将①代入②，可得 综上所述，点T的轨迹C