高中数学2.4 抛物线.docVIP

习题课 抛物线 要点精讲 1.理解和认识抛物线的定义及标准方程，能够根据定义或者待定系数法求抛物线的标准方程. 2.掌握抛物线的简单几何性质，能够利用抛物线的定义和性质解决一些简单问题. 典型题解析 【例1】已知双曲线的中心在原点，离心率为．若它的一条准线与抛物线的准线重合，则 该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是( ) Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.21 【解】由，得，由一条准线与抛物线的准线重合，得准线为，所以，故，，，所以双曲线方程为，由，得交点为，所以交点到原点的距离是，故选Ｂ． 【点评】由已知条件发拨出a、b、c的取值，得到双曲线的方程． 【例2】如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点．设点P分有向线段所成的比为λ，证明 【分析】本题主要考查抛物线、向量、圆等基础知识．根据定义解题，能化难为易；利用向量垂直的充要条件证明两个向量垂直． ,可设直线AB的方程为, 代入抛物线方程：得 ① 设A、B两点的坐标分别是（x1,y1）、(x2,y2),则x1、x2是方程①的两根． 所以 由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得， 即 Q是点P关于原点的以称点，故点Q的坐标是（0，－m,从而 = == 【例3】给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点． (Ⅰ)设l的斜率为1，求与夹角的大小； (Ⅱ)设＝，若∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围． 【分析】 第Ⅰ问将平面向量与解析几何相综合，两者产生联系的工具是坐标系与坐标，这种联系是自然的、和谐的，用解析几何的方法研究解决向量的运算；用向量运算的方法研究解决解析几何的问题．为求与的夹角，可写出它的向量运算公式：第Ⅱ问的综合性更强,解决本问的关键是列出l的截m与的关系式．在这个过程中要用到平面向量的运算和解析几何的运算，消参是解决问题的关键． 这一步实际上是由函数的值域求定义域．由此可以看出，取值范围问题关键是列解析式和消参．出现方程的形式，然后化成或的函数解析式的形式，或由定义域求值域，或由值域求定义域． 【解】（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1， 所以l的方程为 将代入方程，并整理得 设则有 所以夹角的大小为 （Ⅱ）由题设 得 即 由②得， ∵ ∴③ 联立①、③解得，依题意有 ∴又F（1，0），得直线l方程为 当时，l在方程y轴上的截距为 由 可知在[4，9]上是递减的， ∴ 直线l在y轴上截距的变化范围为 【例4】如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB. （1）. 【分析】本题涉及抛物线与直线相交的有关知识. 【解】（1）设M（y,y0），直线ME的斜率为k(l0) 则直线MF的斜率为－k， 消 所以直线EF的斜率为定值 （2） 同理可得 设重心G（x, y），则有 【点评】这是一道重要的数学问题,它属于解析几何范畴,几乎是高考数学每年的必考内容之一,此类问题一定要”大胆假设,细心求解”,根据题目要求先将题目所涉及的未知量都可以设出来,然后根据题目把所有的条件都变成等式,一定可以求出来,当然求的过程中,采取适当的小技巧,例如化简或适当分类讨论,可以大为简化过程,而且会尽量多多得分,同时这一类题目也需要很强的计算能力. 【例5】抛物线C的方程为，过抛物线C上一点 ()作斜率为的两条直线分别交抛物线C于，两点（P、A、B三点互不相同），且满足（≠0且）. （Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程 （Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上 （Ⅲ）当时，若点P的坐标为（1，1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围. 【解】（I）由抛物线的方程得，焦点坐标为（），准线方程为 （II）设直线PA的方程为，直线PB的方程为 点和点的坐标是方程组的解 将代入得： 由韦达定理： ① 同理：，又因为，所以 ② 设点的坐标为，由，得 ③ 将 ② 代入 ③ 得： 即：.所以，线段的中点在轴上 （III）解：因为点P（1，1）在抛物线上，所以，抛物线的方程为. 由 ① 得：，代入得 将代入 ② ，得，代入得 因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为 于是：， 因为为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有，即 解得的范围为：或 又点A的纵坐标满足，故 当时， 当时， 所以，为钝角时，点A的纵坐标的取值范围是 规律总结 直线与抛物线的位置关系,可以联立直线方程和抛物线方程，消去方程组中的变量y（或x）得到关于x（或y）的一元方程. （1）若得到一元二次方程，设此一元