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初三数学知识点梳理及各个知识点中考原题 条件内辅助线 当我们在题目中遇到以下条件时我们可以做以下的思考。（包括我们题目中遇到的问题） 如果题目中遇到中点，线段长度相等等问题如何处理： 中点分为3层5点，要按先后考虑 第一层：1、等腰三角形做三线合一 2、直角三角形做斜边上的中线 3、梯形过中点。如图 注意第一层考虑的东西都是固定图形应该先做考虑。 第二层：1、平行四边形即任意三角形我们一般是倍长中线。如图 注：这一点在初二下学期相似中经常变相的使用。下学期做详细 说明 第三层：中位线。这是我们遇到中点这个概念时最后的手段 如果我们遇到角平分线如何处理，我们一般分为四点。 角平线定义（两个角相等），一般我们只做简单的全等和关系转换。 等腰三角形三线合一，一般我们是有高有角平分线要补成等腰三角形。如图。 角平分线定理（我们最常用的辅助线），一般是向角平分线的两边做垂直。 三胞胎（角平分线，平行，等腰三角形）：如果图形中遇到两个条件，那么必定有第三个条件。如图： 注意，在题目中我们往往会遇到两条角平分线，这时我们只能先研究一条角平分线。 看图三要素。我们在观察图形时要按照一定的顺序。 平行边放水平边。 等腰三角形底边放水平边。 直角三角形斜边放水平边。 其中，平行边放在水平边最重要。 四边形认真。 从边角关系来看是：菱形看边，矩形看角。 从对角线来看要从继承性上说明：菱形继承等腰三角形，矩形继承直角三角形（等腰三角形和直角三角形可互相转化），所以菱形和矩形本质上考的是等腰三角形和直角三角形。 其中，正方形可以看成菱形和矩形的结合。 这边我们要注意我们要把“看图三要素”看成第一点处理。如果我们遇到角平分线和中点，我们要先处理角平分线。 平面几何和圆中考例题 1. （2012北京市5分）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长． 【答案】证明：（1）连接OC， ∵OD⊥BC，∴OC=OB，CD=BD（垂径定理）。 ∴△CDO≌△BDO（HL）。∴∠COD=∠BOD。 在△OCE和△OBE中， ∵OC=OB，∠COE=∠BOE，OE=OE， ∴△OCE≌△OBE（SAS）。∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE。∴BE与⊙O相切。 （2）过点D作DH⊥AB， ∵OD⊥BC，∴△ODH∽△OBD，∴。 又∵ ，OB=9，∴OD=6。 ∴OH=4，HB=5，DH=2。 又∵△ADH∽△AFB，∴，即，解得FB=。 【考点】垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。 【分析】（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论。 （2）过点D作DH⊥AB，根据 ，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长。 （2012陕西省12分）如图，正三角形ABC的边长为．（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形的边长；（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由． 【答案】解：（1）如图①，正方形即为所求。 （2）设正方形的边长为x． ∵△ABC为正三角形，∴。 ∴。∴，即。 （3）如图②，连接NE，EP，PN，则。设正方形DEMN和正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），它们的面积和为S，则，。 ∴.∴。 延长PH交ND于点G，则PG⊥ND。 在中，。 ∵，即. ∴。 ∴①当时，即时，S最小。∴。 ②当最大时，S最大，即当m最大且n最小时，S最大。 ∵，由（2）知，。 ∴。 ∴。 【考点】位似变换，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质。 【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示。 （2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的边长 （3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），求得面积和的表达式为：，可见S的大小只与m、n的差有关：①当m=n时，S取得最小值；②当m最大而n最小时，S取得最大值．m最大n最小的情形见