中考数学 辅助线.docVIP

几何辅助线（图）作法探讨 一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分，若通过适当的，即添适当的线，将原图形成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，原问题顺利获解。初中几何常见辅助线作法歌诀几何题的证明或求解特殊下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。特殊典型例题： 例.（2012四川内江3分）如图，【 】 B. C. D. 例.（2012江苏宿迁3分）已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，且AC≠BD，则四边形EFGH的形状是 ▲ .（填“梯形”“矩形”“菱形” ） 【答案】矩形。 【考点】三角形中位线定理，矩形的判定。 【分析】如图，连接AC，BD。 ∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点， ∴根据三角形中位线定理，HE∥AB∥GF，HG∥AC∥EF。 又∵AC⊥BD，∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=900。 ∴四边形EFGH是矩形。 且∵AC≠BD，∴四边形EFGH邻边不相等。 ∴四边形EFGH不可能是菱形。 例.（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=　 ▲ 　． 【答案】。 【考点】正方形的性质，平行的判定和性质，同底等高的三角形面积，整式的混合运算。 【分析】连接BE，∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF， ∴BE∥AM。∴△AME与△AMB同底等高。∴△AME的面积=△AMB的面积。 ∴当AB=n时，△AME的面积为，当AB=n－1时，△AME的面积为。 ∴当n≥2时，。 例4.（2012江苏镇江6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且∠GDF=∠ADF。 （1）求证：△ADE≌△BFE； （2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由。 【答案】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE（两直线平行，内错角相等）。 ∵E是AB的中点，∴AE=BE。 又∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE（AAS）。 （2）EG与DF的位置关系是EG⊥DF。理由如下： ∵∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF， ∴∠GDF=∠BFE（等量代换）。∴GD=GF（等角对等边）。 又∵△ADE≌△BFE，∴DE=EF（全等三角形对应边相等）。 ∴EG⊥DF（等腰三角形三线合一）。 例.（2012广西南宁10分）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O． （1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形； （2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点； （3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长． 【答案】解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF， ∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF。∴∠EFG=∠EGF。∴EF=EG=AG。 ∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG）。 又∵AG=GE，∴四边形AGEF是菱形。 （2）连接ON， ∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点， △AED的外接圆与BC相切于点N， ∴ON⊥BC。 ∵点O是AE的中点，∴ON是梯形ABCE的中位线。 ∴点N是线段BC的中点。 （3）∵OE、ON均是△AED的外接圆的半径，∴OE=OA=ON=2。∴AE=AB=4。 在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30°。 在Rt△OEF中，OE=2，∠AED=30°，∴。∴FG=。 典型例题： 例1. （2012浙江丽水、金华4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是　 ▲ 　． 【答案】50°。 连接BO，∵AB＝AC，AO是∠BAC的平分线，∴AO是BC的中垂线。 ∴BO＝CO。∵∠BAC