指对幂函数答案.docVIP

4.指对幂函数 知识要点 1．根式 (1)根式的概念： 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n＞1且n∈N* 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数 ±(a0) 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式： ①＝②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念： ①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质： ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1； x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； x＜0时，y＞1 在R上是增函数 在R上是减函数 4．对数的定义 一般地，如果a(a0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数． 5．对数的性质与运算 (1)对数的性质(a0且a≠1)：①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N. (2)对数的换底公式：logab＝(a，c均大于零且不等于1)． (3)对数的运算法则： 如果a0且a≠1，M0，N0，n∈R那么 ①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM. [探究]　1.试结合换底公式探究logab与logba，logambn与logab之间的关系？ 6．对数函数的图象与性质 a1 0a1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 定点 过点(1,0) 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 函数值 正负 当x1时，y0； 当0x1时，y0 当x1时，y0； 当0x1时，y0 7．幂函数的定义 形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． 4．五种幂函数的图象 例题分析 [例1]　求值与化简(其中各字母均为正数)： (1)－×0＋8×＋(×)6－＝________； (2)·＝________； (3) ÷·＝________. (4) log3·log5[4log210－(3)－7log72] ＝________. (5) 2(lg)2＋lg·lg 5＋＝________. [例2]　(1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中ab)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是________． (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． [自主解答]　(1)由已知并结合图象可知0a1，b－1. 对于函数g(x)＝ax＋b，它一定是单调递减的．且当x＝0时g(0)＝a0＋b＝1＋b0，即图象与y轴交点在负半轴上． (2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]． [答案]　(1)①　(2)[－1,1] 【互动探究】 若将本例(2)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围． 解：曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)． 1．(2014·盐城模拟)已知过点O的直线与函数y＝3x的图象交于A，B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数y＝9x的图象于C点，当BC平行于x轴时，点A的横坐标是________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得，C(x1，y2)，所以有又A，O，B三点共线，所以kAO＝kBO，即＝，代入可得，＝＝，即＝，所以x1＝log32. 答案：log32 [例3]　 设a0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 解：令t＝ax(a0且a≠1)，则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t0)． ①当0a1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈，此时f(t)在上为增函数． 所以f(t)max＝f＝2－2＝14.所以2＝16，即a＝－或a＝. 又因为a0，所以a＝. ②当a1时，x