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谈空间解析几何中的“距离”.doc
谈空间解析几何中的“距离” [摘要]本文分类给出了空间中的点到直线间的距离、点到平面间的距离及异面直线间的距离等空间距离的多种计算方法。 [关键字]高等数学 点 直线 平面 距离 在学习高等数学中的空间解析几何部分时,经常会碰到要计算“距离”,比如求点到直线的距离,点到平面的距离,求异面直线间的距离等等.尤其是异面直线距离的求解是一个难点,困难在于如何求两异面直线间的公垂线.从不同的角度分析问题,往往便会得到不同的解法.本文综合向量积、数量积、点线面的关系及函数最值的求法,分类讨论空间中的“距离”,并给出了多种求解方法,从而能够活跃学生的数学思维,有效地开发学员的创造灵感. 一、点点距离 已知空间中两点P0(x0,yo,zo)和P1(x1,y1,z1)则P0与P1之间的距离为 二、点线距离 求空间一点P0(x0,yo,zo)到直线 的距离. (1)公式法 (2)向量积法 设直线L的方向向量为 ,再取L上的一个点P1(x1,y1,z1),则由向量积的几何意义,可知 【注】其实将 ,P1及P0代入上式,便得到公式法中的计算公式. (3)垂足法 求出P0在直线上的垂足P点的坐标,那么|P0P|就是P0到直线的距离. (4)(一元函数)最值法 求出P0与直线L上任一点的距离的最小值. (5)平面束法[1] 求点P0到过直线L的平面束的距离的最大值. 例1 求点M(4,1,-6)到直线 的距离. 解法1(垂足法) 设M在直线L上的投影点坐标M0(x0,yo,zo)则 (1) 因为MM0垂直直线L,而 =(2,3,-1) MM0=(x0-4,y0-1,z0+6)故 2(x0-4)+3(y0-1,z0+6) (2) 联立(1)和(2),可得 x0=3,y0=3,z0=-2 因此,点M在直线L上的投影点为M0(3,3-2)于是,点M到直线L的距离 解法2(最值法) 取直线L上的任意一点B(2t+1,3t,-t-1),则 设f(t)=14t2-28t+35,令f`(t)=0得t=1由题意可知 有最小值f(1)=21因此点M到直线L的距离 解法3(平面束法) 将直线L的方程改写为 ,则过直线L的平面束为 3x-2y-3+λ(y+3z+3)=0, 即 3x+(λ-2)y+3λz+3(λ-1)=0 则点M到上述平面束的距离为 欲求d(λ)的最小值,只需求出d2(λ)的最大值.利用一元函数求极值的方法,令[d2(λ)]`得λ=-4及 (舍去,因为此时d(λ)=0,所对应的平面是过直线L且过点M的平面,其与λ=-4所对应的平面垂直),此时 又因为平面束中缺少平面y+3z+3=0而点M到平面y+3z+3=0的距离 比较可知 最大. 因此,点M到平面L的距离为 【注】这里用到了点到平面的距离公式,在实际解题时,可将直线、平面结合起来,使得问题更容易解决. 三、点面距离 求空间一点P0(x0,y0,z0)到平面π:Ax+By+Cz+D=0的距离. (1) 公式法 【注】通常直接套公式法最简单. (2)垂足法 求出P0在平面上的垂足P点的坐标,那么|P0P|就是P0到平面的距离. (3)条件极值法 求出P0在平面上任一点的距离的最小值. 例2 求M(5,0,-3)到平面π:x+y-2z+1=0的距离. 解 (条件极值法) 任取A(x,y,z)∈π则x+y-2z+1=0于是,点M到平面π的距离d满足 设F(x,y,z,λ)=(x-5)2+y2+(z+3)3+λ(x+y-2z+1) 令 解得 x=3,y=-2,z=1.由题意知此时d2有最小值d2min=24.因此,M到平面π的距离为 四、线线距离 (一)异面直线间的距离 求异面直线 与 之间的距离. (1)公式法 (2)混合积法 设L1,L2的方向向量分别为 取A∈L1,B∈πL2,构造以 为三条棱的平行六面体,则该平行六面体的体积是 ,其一底面积是 .L1与L2之间的距离为该平行六面体以两直线的方向向量 为底 面所对应的高,所求的距离 (3)投影法 L1,L2的公垂线的方向向量可以取 所求的距离就是 上的投影,即 注:混合积法与投影法其实公式是相同的,只是从不同的角度分析距离而已,公式法可直接由混合积法或投影法推出. (4)垂足法 求出公垂线在L1,L2上的垂足,计算两垂足之间的距离. (5)(二元函数)最值法 求L1上任意一点与L2上任一点之间的距离的最小值. (6)线面平行法 求L1与过L
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