经济数学基础(上)导数与微分笔记整理.docVIP

经济数学基础（上） 数学笔记整理 第二章 导数与微分（P49） 目录 一、 导数的符号要清楚 1 二、 导数的几何意义 1 三、 可导与连续的关系 1 四、 导数的基本公式与练习题 1 五、 切线方程问题 3 六、 复合函数的求导 4 七、 隐函数的导数 7 八、 高阶导数 7 九、 微分 8 十、 可微、可导和连续、极限的关系 9  导数的符号要清楚（P51，52都有），最简单的就是 导数的几何意义（P55） 函数y=f（x）在点处的导数就是曲线y=f（x）在点（）处切线的斜率， k=，∴切线的方程为y 可导与连续的关系（P56，2.1.5） 定理2.1和注意 可导连续（充分条件） y=f（x）的图像在点处出尖，则f（x）在处不可导。例：y=，图像如下, 此时，当x=0时，图像出尖，不可导。 导数的基本公式与练习题（P65~66，2.2.6的1.，2.，3.，） 就记书上的前8个就行了，其他的不用记 再多记2个：① ② 【练习1：求导】 解：有分式，商的导数不好算，可以先化简。 ∴ ∴【注意ln7为常数，常数的导数为0哦！】 = 解决此题有2种方法，方法一是直接求。方法二是先打开，再求。你觉得怎么简单就怎么来。一般情况是先打开再做比较容易，有时是怎么做都一样的。 方法一：直接求。要用到乘积的导数。（先打开再做就用不着乘积的导数，看过程就知道哪个方法简单了。） =2（）+ =10 =30 方法二：先打开，再求导。 =5 =10 ∴ 【练习2：求导】 解：【注意：ln6为常数，导数也为0哦！】 解： 解： 解： 很容易能看出来，此题必须要化简了。你要是想用商的导数来求的话，是够麻烦的了。 解：∵ =（）· = ∴ 这题就不能化简了，怎么着都是麻烦。商的导数会背吗？要用了。。。注意所有公式都必须要会背哦！ = = 【书上的题P75，3，4】 P75, 3.求导 （2） 这题就是怎么做都行，你想用乘积的方法做就直接挑战吧。但是为了简单，我们的习惯就是先打开，再求导。 ∵ =2 ∴ （4） 此题也可以直接，前提是你必须会背两个公式。 如果这两个公式知道的话，就直接求导。若不知道，就要化成指数的形式。 方法一：直接求导。 解：+ =+ 方法二： 解：∵ =2· ∴ = 【写成这样就行了，不用再化成根号了】 （8） 这题化简也不容易，直接来商的导数吧！ 解： = P75，4.求导 （3） 解： = 【怎么样，这些导数还算简单？】 切线方程问题 从导数的几何意义可知，表示曲线y=f（x）在点（）处切线的斜率。所以求切线方程就得先求斜率，再运用点斜式，方程就求出来了。 例1：求曲线y=在点（3,9）处的切线方程 解： ∴k= ∴方程为，即 例2：求y=lnx在x=1处的切线方程 写方程得知道斜率和一个点。而这题没给点，则需要先把该点找出来。题目中给了该点的横坐标，纵坐标很好找的嘛！ 解：y（1）=0 ∴切点为（1,0） ∴k= ∴方程为 复合函数的求导（P58，2.2.2） 学会了上边的基本的求导，接下来就要学习更难一点的复合函数的求导了。而且，你还别着急，导数这章可是咱们期中考试的重点呐，怎么着也得会点吧？ 【求导的方法：】 分解复合函数（第一章已经讲过了，不会的去看第一章吧） 分别求导 将导数相乘 把中间变量（u、v、s、t……）代回来 下面有2道例题，每道题都分为“初级、中级、高级”，哈哈，请对号入座……你目前处于什么级别自己心里清楚，能把题做对就可以了嘛。 例1：求导： 初级：按照上边的方法一步一步来的说 解：1分解： 2分别求导： 3将导数相乘: 4把中间变量（u、v）代回来：【如果不知道余切公式，可以不用化成余切】 中级：省掉了分解函数的步骤，一步一步的求导 解： = = = 高级：你懂的 = 例2： 你应该知道， 初级：一切从分解复合函数开始…… 解：1分解： 2分别求导： 3将导数相乘: 4把中间变量（u、v）代回来： =sin2【如果不会二倍角公式，这步可以不写】 = sin 中级： 解： = = =sin2 = sin 高级： 解： =sin2 = sin 复合函数的导数学会了没？现在自己来做几道吧！下边的解题步骤有点高手级别了，不过基本上都是用公式做的，你应该能看懂吧。看不懂的话只能说你公式不会背哦，先把公式背会吧。考试时可是闭卷哦。 【书上的题，P76，7（3）（21）（6）（12）（20）（22）。前2道是课堂练习，后4道为作业题】 P76，7.求导 （3） 解： =2· = = （21） 哦，天呐，最难打的一个公式了，好小的格哦……看看是有多复杂的题吧。呵呵，看