第一次数学危机第一次数危机.pptVIP

一、什么是数学危机 危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的。 　 人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通； 引进分数使乘法有了逆运算——除法。 　　接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。 方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。 　　几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学。　　 * 4）无理数 像 这样的数 ，和其它一些不能表成整数比的数，称为无理数。 称两个整数之比为有理数，而把 那样的一类数叫做无理数，即没有道理的数，原来是翻译出了问题。 * rational number 是有理数的英文名称，而rational是一个多义词，含有“比的”，“有理的”意思。而词根ratio来自希腊文，完全是“比”的意思。对“rational number”正确的翻译应该是“比数”。“比数”的名称才正确反应了这类数是两个整数之比的内涵。人类在认识有理数之前，唯一知道的是自然数。那时所谓的“数”，都是自然数。把由自然数产生的数 叫做比数，其实才符合古人的原意。 * 在东方，最早把rational number 翻译过来的是日本人。可能是那个日本人英文不好，数学又不太懂，把它翻译成“有理数”。而日本文字又和汉字形似，于是中国人把这三个字照搬过来，沿用至今，形成习惯。 如果正确地把两个整数之比叫做“比数”，那么像 一类的数称为“非比数”，还是颇有道理的。 * 2. “两个量的比相等”的新定义 ——部分地消除了危机 * 两个量的比相等，即 。 约公元前370年，希腊数学家欧多克索斯和阿契塔的定义：“称四个量的第一个和第二个之比与第三个和第四个之比相等，如果取第一个和第三个量的任何相同的倍数，第二个和第四个量的任何其他的相同倍数后，从第三个量的倍数大于、等于或小于第四个量的倍数，便有第一个量的倍数对第二个量的倍数的相应关系”。 * “两个量的比相等”的这一定义，是正确的、严格的，部分地解决了危机，使几何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。 欧几里得的几何《原本》中也采用了这一定义，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学的基础。 但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数系的扩充和实数理论的建立。 * 3. 无理数与数系的扩张——危机的解决 1）有理数的稠密性 定义：“一个数集在数轴上是稠密的”是指，在数轴上，每一个不管处于什么位置，也不论是多么小的区间（ , ）中都存在着这个数集中的点。 定理：有理数集在数轴上是稠密的。 * 2）数轴 ① 古代观点：数轴?有理数 ② 现代观点：数轴?实数 * 3）数系的扩张——危机的解决 ① 自然数系 ② 有理数系 ③ 实数系 * 实数系具有连续性。有理数系具有稠密性,却不具有连续性。 数系的连续性和稠密性是两个不同的概念。 数系的稠密性，通俗说成“到处都有”、“密密麻麻”；数系的连续性，通俗说成“一个挨一个”、“针插不进，水泼不进”。 连续性是一个很好的性质。但是对“数系的连续性”的概念，给出严格的数学定义，就那么容易了。 数系扩张为实数系以后，第一次数学危机就彻底解决了。 因为数的范围扩充以后，“万物皆数”的命题就是正确的了；不能表成整数比的数，即无理数，也是实数系中的数了。 * * [思]：能说“任何两个有理数之间都有 无理数”吗？为什么？ * 四、反证法与无理数 1. 反证法 1）反证法的威力　 * 例：有数学书、物理书、外语书共十本。 证明：在这三种书籍中，有一种书籍 至少有四本。 穷举法： 数学书 10 9 9 8 8 8