2009届高三数学圆锥曲线 抛物线 专项训练.docVIP

圆锥曲线 抛物线 专项训练 【例题精选】： 例1：①已知抛物线的方程为，求它的准线方程及焦点坐标。 ②求焦点是的抛物线的标准方程。 解：①∵ ∴焦点坐标为，准线方程为 ②∵焦点在x轴的负半轴上 ∴它的标准方程为 例2：抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为 答案： 分析：∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于P的2倍。 ∴所求抛物线方程为 例3：抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点到焦点距离是6，则抛物线方程为 答案： 分析：∵点在第二象限 又∵对称轴是x轴 ∴抛物线开口向左 不妨设其焦点坐标为 求出相应的，则相应的抛物线方程为。 例4：抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点与准线的距离为 答案：2 分析：设抛物线焦点为F，M是抛物线上横坐标为4的点，则 过M作MA垂直于准线于A，由抛物线定义可知， ，即 ∴抛物线的焦点与准线的距离为2 例5：已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m,－3)到焦点距离为5，求m的值。 解：设抛物线方程为，则准线方程为 到焦点的距离等于到准线的距离，而 求得P = 4，故抛物线方程为 在抛物线上，故 例6：直线截抛物线，所截得的弦中点的坐标是 答案：( 5, 4 ) 分析：解方程组 ∴弦的中点的横坐标，代入，得中点纵坐标，∴中点坐标是( 5, 4 ) 例7：设抛物线被直线截得的弦长为，则b的值是 答案： 分析：解方程组 解出 小结：本题用到了弦长公式。 设斜率为k，则 例8：顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程。 解：设所求抛物线方程为 由 所以抛物线方程为 小结：设抛物线方程为，当a0时抛物线开口向右，a0时，其开口向左。 例9：抛物线有内接直角三角形，直角顶点在原点，一条直角边所在直线方程为，斜边长为，求P的值。 解：设抛物线内接直角三角形AOB，其直角边OB所在直线方程为，斜边为AB，则直角边OA所在直线方程为 解方程组 得 于是有 解出，得 例10：过点(－1, －6)的直线l与抛物线相交于A、B两点（A、B不重合）求直线l的斜率k的取值范围。 解：设直线l的方程为 解方程组 例11：求抛物线上的点到直线的最短距离。 解：设抛物线上一点到直线的距离为d，则 （） 例12：k是什么实数时，直线与抛物线，（1）有两个交点；（2）只有一个交点；（3）无交点 解：由方程组可得 时方程有唯一解，当时 ①当 k 1,且时，直线与抛物线有两个交点。 ②当时，，直线与抛物线相切，有一个交点（即切点），直线平行于抛物线的对称轴，也只有一个交点。 ③当时，，直线与抛物线相离，无交点。 小结：在讨论直线与抛物线的位置关系，判定交点的个数时，应考虑平行于轴的这一特殊情况，不能单纯地使用判别式。 例13：求抛物线中，以为中点的弦的方程。 解：设弦所在直线方程为 由 代入上式，得 设两根为A、B两点的纵坐标 则有 ∴所求直线方程为 例14：动圆圆心Q在x轴上移动，且过点A（－3，0），设动圆交x轴于P，交y轴于N，过P引y轴的平行线，过N引x轴的平行线，它们的交点为M，求M的轨迹。 解：设动点 例15：抛物线，过其焦点作一弦AB，若弦长不超过8，且弦所在的直线与椭圆相交，试确定弦AB所在直线斜率k的取值范围。 解：∵焦点 ∴设过焦点F的直线为 ∴ ②代入①，得 设直线交抛物线于 ③ 由 直线与椭圆相交 ④ 由 ③④ 得 【专项训练】：（45分钟） 1、抛物线上一点M到准线的距离为，则点M到抛物线顶点的距离是 。 2、焦点在直线上的抛物线的标准方程为 。 3、抛物线上一点到焦点距离等于6，则m = 。 4、一动点到y轴的距离比到点( 2,0 )的距离小2，这动点的轨迹方程是 。 5、抛物线的焦点坐标为 。 6、在抛物线上求一点P，使点P到直线的距离最短。 7、若