2008年广东省中考数学卷（省命题版）最后一道大题的8种解法.docVIP

21.（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC． 求∠AEB的大小； （2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小. 解法一(利用三角形的边角关系)：如图7(1). ∵ △BOC和△ABO都是等边三角形， 且点O是线段AD的中点， ∴ OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°, ∴ ∠4=∠5. 又∵∠4+∠5=∠2=60°, ∴ ∠4=30°， 同理，∠6=30°. ∵ ∠AEB=∠4+∠6, ∴ ∠AEB=60°. 解法二（利用菱形的对角线的性质）：如图7(2) ∵ △BOC和△ABO都是等边三角形， 且点O是线段AD的中点， ∴ OD=OC=OB=OA=AB=CD, ∠1=∠2=∠CDO=∠BAO=60°, ∵∠1＋∠2＋∠3＝180°， ∴∠3＝60°， ∴CB=OB=OD=CD， ∴四边形OBCD是菱形， ∴∠4=30°. 同理∠5=30° ∴∠AEB=∠4+∠5 =60°. 解法三（利用三角形全等证明）：如图7(3) ∵ △BOC和△ABO都是等边三角形， 且点O是线段AD的中点， ∴ OD=OC=OB=OA, ∠1=∠2=60°, ∴∠1+∠3=∠2+∠3 即∠DOB=∠AOC ∴△DOB≌△COA (SAS) ∴∠5=∠6 ∵∠4+∠5=∠2 = 60° ∴∠AEB=∠4+∠6＝∠4+∠5 =60°. 解法四（利用三角形全等及三角形的内角和）：如图7(4) ∵ △BOC和△ABO都是等边三角形， 且点O是线段AD的中点， ∴ OD=OC=OB=OA, ∠1=∠2=60°, ∴∠1+∠3=∠2+∠3 即∠DOB=∠AOC ∴△DOB≌△COA (SAS) ∴∠4=∠7 ∴∠7+∠OCD+∠CDE=∠4+∠OCD+∠CDE=120° ∴∠AEB=∠CED=180°-120°=60°. 解法五（利用直角三角形的知识求解）：如图7(5) ∵ △BOC和△ABO都是等边三角形， 且点O是线段AD的中点， ∴OC=OD=OA=AD, ∴△ACD是直角三角形,即∠ACD＝90° 又∵CD=OD=OA=AD, ∴∠1=30°. 同理∠2=30°. ∴∠AEB=∠1+∠2 =60°. 解法六（利用平行线的性质求解）：如图7(6). ∵ △BOC和△ABO都是等边三角形， 且点O是线段AD的中点， ∴ OD = OB ,∠1=∠CDO=60°, ∴∠2=∠3 ,OB∥DC ∴∠4=∠3 ∴∠2=∠4=∠CDO=30°. 同理∠5=∠BAO=30° ∴∠AEB=∠2+∠5 =60°. 解法七（利用圆周角定理）：如图7(7). ∵ △BOC和△ABO都是等边三角形， 且点O是线段AD的中点， ∴ OD=OC=OB=OA, ∠1=∠2=60°, ∴四边形内接于以OA为半径的⊙O， ∠3=∠4=∠1=30°, ∴∠AEB=∠3+∠4 = 60°. 解法八（利用三角形相似）：如图7(8) ∵ △BOC和△ABO都是等边三角形， 且点O是线段AD的中点， ∴ OD=OC=OB=OA, ∠1=∠2=60°, ∴∠1+∠3=∠2+∠3 即∠DOB=∠AOC ∴△DOB≌△COA (SAS) ∴∠4=∠5 又∵∠AFB=∠AFO ∴△AFB ∽△AFO ∴∠AEB=∠2= 60° （2）解法一（利用三角形边角关系）：如图8（1）. ∵ △BOC和△ABO都是等边三角形， ∴ OD=OC, OB=OA,∠1=∠2=60°， 又∵OD=OA, ∴ OD＝OB，OA＝OC， ∴ ∠4=∠5，∠6=∠7. ∵ ∠DOB=∠1+∠3, ∠AOC=∠2+∠3, ∴∠DOB=∠AOC. ∵ ∠4+∠5+∠DOB=180°, ∠6+∠7+∠AOC=180°, ∴ 2∠5=2∠6 , ∴ ∠5=∠6， 又∵ ∠AEB=∠8-∠5， ∠8=∠2+∠6 ， ∴ ∠AEB＝∠2＋∠5－∠5＝∠2 ， ∴ ∠AEB＝60°. 解法二（利用三角形全等）：如图8（1）. ∵ △BOC和△ABO都是等边三角形，且OD=OA, ∴ OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°， ∴ ∠4=∠5，∠6=∠7. ∵ ∠DOB=∠1+∠3, ∠AOC=∠2+∠3, ∴∠DOB=∠AOC. ∴△DOB≌△COA (SAS) ∴∠4=∠7 ∴∠7+∠OCD+∠CDE=∠4+∠OCD+∠CDE=120° ∴∠AEB=∠CED=180°-120°=60°. 解法三（利