2008年上海市普通高等学校春季招生考试（数学）.docVIP

2008年上海市普通高等学校春季招生考试 数 学 试 卷考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有22道试题，满分150分．考试时间120分钟． 一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合或，，则 ． 【详解】略 2．计算： ． 【详解】 ． 3．函数的定义域是 ． 【详解】　定义域 4．方程在区间内的解是 ． 【详解】　． 5．已知数列是公差不为零的等差数列，．若成等比数列，则 ． 【详解】设公差为，则，则． 6．化简： ． 【详解】（方法一）：利用＂两角和公式＂直接求解； （方法二）： 　　　　　　． 7．已知是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为．设分别为双曲线的左、右焦点．若，则 ． 5 【详解】由双曲线的一条渐近线方程为，又双曲线的． 8．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积 ． 【详解】凸多面体，上半部分为正四棱锥． 9．已知无穷数列前项和，则数列的各项和为 ． 【详解】　由可得：，两式相减得并化简：， 　　　　又．所以． 10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件出现的概率是 （结果用数值表示）． 【详解】如下图，当左边的位置排定后（例如：金），第二位（除去金本身）只有“土、水”两种属性。第二位排定后，其他三种属性也确定。故有， 金 土 火 木 水 所以事件出现的概率是11．已知；（是正整数），令，，．某人用右图分析得到恒等式：，则 ． 【详解】由图中的面积可得 所以． 12．已知，直线：和．设是上与两点距离平方和最小的点，则△的面积是 ． 【详解】（图略）设．由题设点到两点的距离和为 ．显然当即时，点到两点的距离和最小． 　　同理，所以． 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分． 13．已知向量，若，则等于A． B． C． D．14．已知椭圆，长轴在轴上．若焦距为，则等于A．B．C．D．， 显然，即．，解得． 15．已知函数定义在上，，则“均为奇函数”是“为偶函数”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．已知，且为虚数单位，则的最小值是A． B．C．D．，满足的点均在以为圆心，以１为半径的圆上．所以的最小值是3． 三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分） 已知，求的值． 原式． …… 5分 又 ，， …… 9分． …… 12分 18．（本题满分12分） 在平面直角坐标系中，分别为直线与轴的交点，为的中点．若抛物线过点，求焦点到直线的距离． 由已知可得 ， …… 3分 解得抛物线方程为 ． …… 6分于是焦点 ． …… 9分点到直线的距离为 ． …… 12分 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数．（1）求证：函数在内单调递增；（2）记为函数的反函数．若关于的方程在上有解，求的取值范围． （1）任取，则， ，，∴，，即函数在内单调递增． …… 6分 （2）， …… 9分[解法一] …… 11分当时，， ∴的取值范围是． …… 14分[解法二] 解方程，得…… 11分，∴，解得 的取值范围是．