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一道几何综合考试题多解研究 　　题目：（2012年包头市中考试题） 如图，已知AB为圆O的直径，过圆O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交圆O于点F，连结BC、CF、AC. 　　（1）求证：BC=CF； 　　（2）若AD=6，DE=8，求BE的长. 　　（3）求证：AF+2DF=AB. 　　解析： 　　命题者把四个直角三角形有机地组合在一个圆上，提出三个问题，考查学生综合计算与证明的能力、添加辅助线的能力.第一问证明线段相等，在圆中别忘了寻求弧的相等.角的相等和全等三角形；第二问求线段BE的长，若仔细观察分析图形便会发现：求出圆的半径是求解BE长的关键所在，且有多种解法；第三问证明“AF+2AD=AB”，因为结论是线段和差问题，所以自然会想到用接长法或截短法证之.然而，结论中含有有系数2，观察图形使我们想到把“2DF”分解为“DF+DF”.用其中的一个“DF”去接长或截短证之.另外因为圆中有无数条直径，所以使我们还想到用特殊位置的直径，即与线段AD平行的直径去探索证法.同时还可把结论中的系数2变移为“12 　　AF+DF=12AB”去探索证法.可见：此问亦可用圆的半径证之.下面就分别研究三问的多种解证方法. 　　（1）证明BC=CF： 　　证1：如图1，连结OC.因为ED切圆O于点C，所以OC⊥ED， 　　又AD⊥ED，所以OC∥AD， 　　所以∠OCA=∠CAD.因为OC=OA. 　　所以∠OAC=∠OCA，所以∠OAC=∠CAD， 　　所以BC=CF，所以BC=CF. 　　证法2：如图2，连结并延长CO交圆O于H， 　　因为∠BOC=∠AOH，所以BC 　　=AH. 　　因为HC⊥ED，AD⊥ED，所以HC∥AD， 　　所以AH=CF，所以BC= 　　CF，所以BC=CF. 　　证法3：如图3，过点B作BH⊥ED于H，连结OC. 　　因为ED切圆O于C，所以OC⊥ED，BH⊥ED，AD⊥ED，所以BH∥OC∥AD， 　　所以BC=CF，所以BC=CF. 　　证法4：如图4，连结BF. 　　因为AB是圆O的直径，∠AFB=90°，所以BF⊥AD，又 　　ED⊥AD，所以BF∥ED， 　　所以BC=CF，所以BC=CF. 　　证法5：如图5，过点C作CH⊥AB于H.由证法1知AC平分∠BAD，CD⊥AD，CH⊥AB，所以CD=CH，∠CDF=∠CHB=90°. 　　因为ABCF是圆O内接四边形，所以∠CFD=∠CBH， 　　所以Rt△CDF≌Rt△CHB，所以CF=BC， 　　所以BC=CF. 　　证法6： 　　如图6，过点B作BH 　　⊥ED于H，连结OC、BF. 　　因为BH⊥ED，OC⊥ED，AD⊥ED， 　　所以BH∥OC∥AD，因为BO=OA，所以HC=CD， 　　因为AB是圆O的直径，所以∠AFB=90°， 　　∠BHD=∠HDF=∠DFB=90°. 　　所以四边形BHDF是矩形，所以BH=FD. 　　所以Rt△BHC≌Rt△FDC，所以BC=CF. 　　证法7： 　　如图7，连BF与OC相交于K， 　　因为ED是圆O的切线，所以OC 　　⊥ED， 　　因为AB是圆O的直径，所以∠AFD=90°， 　　所以BF⊥AD，ED⊥AD，所以BF∥ED， 　　所以OC⊥BF于K，所以BK=KF， 　　因为OC是BF的中垂线，所以BC=CF. 　　（2）求BE的长. 　　解法1：如图8，连结OC. 　　在Rt△ADE中，AD=6，DE=8，由勾股定理得AE=10. 　　因为OC∥AD，所以△EOC∽△EAD，所以EOEA= 　　OCAD， 　　设圆O的半径为r，则EO=10-r， 　　所以10-r10= 　　r6，所以r= 　　154， 　　所以BE=10-2r=52. 　　解法2：如图8，过点C作CQ⊥AE于Q， 　　因为∠AQC=∠ADC=90°，由证法1知∠QAC=∠DAC，AC=AC， 　　所以△AQC≌△ADC， 　　所以AQ=AD=6，所以EQ=EA-AQ=10-6=4. 　　因为Rt△EQC∽Rt△EDA，所以 EQED= 　　CQAD， 　　所以48=CQ6， 　　所以CQ=3， 　　在Rt△CQE中，EC2=EQ2+CQ2=42+32，所以EC=5， 　　因为EC是圆O的切线，所以EC2=EB?EA， 　　所以52=EB?10，所以BE=52. 　　解法3：如图8，过点C作CQ⊥AE于Q， 　　因为CD是圆O的切线， 　　所以CD2=DF?AD， 　　所以32=DF?6， 　　所以DF=96=32，由证法1知BC=CF. 　　因为AB