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《球面上的基本图形》教学设计 　　摘 要： 本文为《普通高中数学课程标准（实验）》选修系列3中的专题《球面上的几何》起始内容的教学设计.《球面上的几何》专题课程的开设有利于培养学生的空间想象力和几何直观能力，使学生体会类比方法在数学学习和研究中的重要作用. 　　关键词： 球面几何 教学设计 类比 　　一、教材分析 　　《球面上的几何》是《普通高中数学课程标准（实验）》选修系列3中的一个专题.诚如《课程标准》指出的那样：“系列3和系列4是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的.所涉及的内容反映了某些重要的数学思想，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识.”在开展数学培优的第二课堂中，笔者将此内容进行了选讲，发现学生对此很感兴趣.通过对球面几何和欧氏平面几何的类比学习，学生对所学的立体几何知识有了更进一步的理解.为此，下面进行了《球面上的几何》的起始课“球面上的基本图形”的教学设计，以期对这个专题的开设有所帮助. 　　二、教学目标 　　（一）知识与技能 　　1.认识球面上的基本图形大圆劣弧（球面上的线段）、大圆（球面上的直线）、球面角、球面二角形、球面三角形及其特征； 　　2.知道球面上的两条直线只有相交而没有平行关系； 　　3.会计算简单的球面三角形三个内角和三边大小，从而了解球面三角形的内角和大于； 　　4.通过对球面上基本图形的认识，进一步培养空间想象力和几何直观能力. 　　（二）过程与方法 　　通过平面上的线段、直线、角、三角形等图形类比认识球面上的线段、球面上的直线、球面角、球面三角形的过程，体会类比方法在数学学习中的重要作用. 　　（三）情感态度与价值观 　　通过对球面上基本图形的认识，了解球面几何与平面几何的相同之处与不同之处，认识到球面几何是一个重要的一个非欧几何模型，从而改变对几何的固有观念. 　　三、教学重难点 　　教学重点：球面角、球面三角形相关量的计算；类比的研究方法. 　　教学难点：球面角、球面三角形的相关概念及特征的理解. 　　四、教学过程设计 　　（一）课题引入 　　问题1：我们以前学过平面几何的内容，平面几何是研究平面上的基本图形及其性质的一门课程.但是，我们身处的地球及熟知的乒乓球、篮球等物体，却并不是由平面围成的几何体，它们又有怎样的特性呢？从这节课开始，我们就学习球面几何的基本内容.仿照平面几何的研究内容，你能说一说球面几何是研究什么内容的？ 　　问题2：在现实生活中，球面几何知识有着广泛的应用，大家能举例说一说，现实生活中应用球面几何的例子吗？ 　　【设计意图】问题1：让学生从平面几何的研究内容类比联想球面几何的研究内容，充分考虑到了学生的认知基础，同时也为后面通过平面几何的基本图形及其性质学习球面几何的基本图形及其性质奠定了知识与方法基础.问题2：通过教师和学生共同举例，使学生认识到数学源于生活、用于生活、高于生活. 　　（二）探究新知 　　1.球面上的大圆劣弧――“线段” 　　创设情境：球面上有两点M、N（这两点非直径的两个端点），一只蚂蚁想从M点爬到N点，你能找到蚂蚁爬行的最短路径吗？（动画演示） 　　由此引出球面上过M、N两点的大圆劣弧，就是球面上的线段.在平面上两点确定一条线段，在球面上也有类似的结论. 　　【设计意图】学生对球面几何的认知基础是球面距离这个概念，让学生通过寻找在球面上蚂蚁爬行的最短路径，唤起学生的认知基础，并在此基础上顺理成章地帮助学生形成球面上的大圆劣弧就是球面上的线段这个基本而又重要的概念，为后面进一步形成球面上的直线概念做好铺垫. 　　2.球面上的大圆――“直线” 　　类比1：在平面上如果把线段向两边无限延伸，就形成一条直线，那么在球面上如果把大圆劣弧 向两边延伸形成什么图形呢？ 　　教师启发：既然把平面上的线段向两边无限延伸形成的图形称为平面上的直线，那么是否也可以把球面上的大圆劣弧向两边延伸形成的大圆称为球面上的直线呢？ 　　【设计意图】球面上的直线概念的建立是本节课的教学难点，如果学生对“球面上的直线就是球面上的大圆”不能有效认同，那么就会对整个球面几何体系产生怀疑.这里通过平面上的线段向两边无限延伸形成一条直线类比建立“球面上的大圆劣弧向两边延伸形成的大圆就是球面上的直线”这个认识，有效地突破了这个难点. 　　类比2：平面上两点定线，并且直线的长度无限，那么球面上的大圆，即球面上的直线是否也具有类似的性质？ 　　师生发现：过非直径两端点的直线具有唯一性；过直径两端点的直线不唯一；球面上的直线长度固定. 　　【设计意图】通过类比，学生发现球面上的大圆，即球面上的直线具有与平面相同的特征，也具有与平面完全不同的特征.