数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习自主学习：第82课　相似形Word版含解析.docxVIP

第82课　相似形【自主学习】第82课相　似　形自主学习　回归教材1. (选修4-1P16例3改编)在△ABC中，DE∥BC，DE将△ABC分成面积相等的两部分，求DE∶BC的值.【解答】依题意S△ADE∶S△ABC=1∶2，所以DE∶BC=1∶.2. (选修4-1P19习题3改编)如图，等边三角形DEF内接于△ABC，且DE∥BC，已知AH⊥BC于点H，BC=4，AH=，求△DEF的边长.(第2题)【解答】设等边三角形DEF的边长为x，则它的高为x.因为DE∥BC，所以=，解得x=.3. (选修4-1P10习题2改编)如图，在△ABC中，D是AB的一个三等分点，DE∥BC，EF∥DC，AF=2，求AB的长.(第3题)【解答】由DE∥BC，得=，由EF∥DC，得=，所以=AD2=AB·AF.设BD=x，则AD=2x，AB=3x，而AF=2，所以4x2=6x，所以x=，AB=.4. (选修4-1P19习题5改编)如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，连接AE交CD于点F，FG∥AD交DE于点G，求证：FC=FG.(第4题)【解答】在正方形ABCD中，因为AB∥CD，所以=.因为FG∥AD，所以=，所以=.因为AB=AD，所以CF=FG.1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交)直线上截得的线段也相等.推论1：经过梯形一腰的中点与底边平行的直线，必平分另一腰.推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边.2.平行线分线段成比例定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.3.相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比，面积比等于　相似比的平方　.4.直角三角形射影定理在Rt△ABC中，斜边AB上的高为CD，则CD2=AD·BD，BC2=BD·BA，AC2=AD·AB.【要点导学】要点导学　各个击破　平行线分线段成比例定理例1　如图，已知M，N分别是平行四边形ABCD的边AB，CD的中点，CM交BD于点E，AN交BD于点F.请你探讨BE，EF，FD三条线段之间的关系，并给出证明.(例1)【思维引导】在△CDE中，N是边CD的中点，只要证明NF∥CE，即可由推论1得DF=EF.同理可得BE=EF，由此得出三者之间的关系.【解答】因为四边形ABCD是平行四边形，M，N分别是边AB，CD的中点，所以四边形AMCN是平行四边形.因为在△CDE中，N是CD的中点，且FN∥CE，所以F是DE的中点，即DF=EF.同理，在△ABF中，M是AB的中点，且AF∥MC，所以E是BF的中点，即EF=BE.故BE=EF=DF.变式　在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，求证：=.【解答】过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E，如图所示.(变式)因为AD∥CE，所以=.又因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC.在△BCE中，由AD∥CE知，∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE，所以∠ACE=∠E，所以AE=AC，所以==，故=.　相似三角形的判定与性质例2　如图，BD，CE是△ABC的高.求证：△ADE∽△ABC.(例2)【思维引导】由于△ADE与△ABC有一公共顶点A，可根据“对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似”去证明.【解答】因为BD，CE是△ABC的高，所以∠AEC=∠ADB=90°.又因为∠A=∠A，所以△AEC∽△ADB，所以=，从而=.又因为∠A=∠A，所以△ADE∽△ABC.例3　(2014·广东卷改编)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，求△CDF与△AEF的面积比.(例3)【思维引导】利用相似三角形的性质定理，即面积比等于相似比的平方求解.【解答】因为EB=2AE，所以AE=AB=CD.又因为四边形ABCD是平行四边形，所以△AEF∽△CDF，所以=9.变式　如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，DF过EC的中点G，并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O.若△ADE的面积是S，求四边形BOGC的面积.(变式)【解答】因为点D，E分别是AB，AC的中点，所以DEBC，又因为△ADE的面积是S，所以△ABC的面积是4S，所以四边形DECB的面积是3S.因为点G是EC的中点，所以EG=EC=AE，所以△DEG的面积是△ADE的面积的一半，即S.同理△DEB的面积是S.由DE∥CF，EG=GC，易知△DEG≌△FCG，所以DE=CF.又△DEO∽△FBO，所以EO∶BO=