数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习单元小练14　矩阵与变换、坐标系与参数方程Word版含解析.docxVIP

单元小练14　矩阵与变换、坐标系与参数方程【单元小练】单元小练14　矩阵与变换、坐标系与参数方程 1.求矩阵的特征值和特征向量. 2.已知矩阵M=的一个特征值为2.在平面直角坐标系xOy中，若曲线C在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线C：x2+y2=1，求曲线C的方程. 3.已知直线l：x+y=1在矩阵A=对应的变换作用下得到直线l：x-y=1，求矩阵A. 4.已知矩阵M=属于特征值8的一个特征向量是e=，点P(-1，2)在矩阵M对应的变换作用下得到点Q，求点Q的坐标. 5.在极坐标系中，已知点A的极坐标为，圆E的极坐标方程为ρ=4cos θ+4sin θ，试判断点A和圆E的位置关系. 6.在极坐标系中，求圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=(ρ∈R)的距离的最大值. 7.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数).以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)+4=0，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值. 8.已知直线l的极坐标方程为ρsin=3，曲线C的参数方程为(θ为参数).设P是曲线C上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值.【单元小练答案】单元小练14　矩阵与变换、坐标系与参数方程1.矩阵的特征多项式为f(λ)==(λ-3)2-1=λ2-6λ+8.令f(λ)=0，解得λ1=2，λ2=4.将λ1=2代入二元一次方程组令x=1，所以属于特征值λ1=2的一个特征向量为.同理，当λ2=4时，由x-y=0，所以属于特征值λ2=4的一个特征向量为.综上，矩阵有两个特征值，分别为λ1=2，λ2=4.属于λ1=2的一个特征向量为，属于λ2=4的一个特征向量为.2.由题意知矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ-a)·(λ-1).因为矩阵M有一个特征值为2，所以f(2)=0，所以a=2.设曲线C上任意一点A(x，y)在矩阵M对应的变换作用下得到点A(x，y).由M==，即又点A(x，y)在曲线C：x2+y2=1上，所以(2x)2+(2x+y)2=1，即曲线C的方程为8x2+4xy+y2=1.3. (1) 设直线l：x+y=1上任意一点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下得到点M(x，y).由==，得又点M(x，y)在直线l上，所以x-y=1，即(mx+ny)-y=1，则解得所以矩阵A=.4.由题意知=8，故解得所以矩阵M=.又=，所以点Q的坐标为(-2，4).5.由题意知点A的直角坐标为(2，-2)，圆E的直角坐标方程为(x-2)2+(y-2)2=8，圆心E(2，2)，半径r=2，则点A到圆心E的距离d==4r=2，所以点A在圆E外.6.由题意知圆的直角坐标方程为x2+(y-4)2=16，直线的直角坐标方程为y=x，则圆心(0，4)到直线的距离d==2，所以圆上的点到直线的距离的最大值为2+4=6.7.由题意知直线l的直角坐标方程为x+y+4=0.在曲线C上任取一点A(cos α，sin α)，α∈[0，2π)，则点A到直线l的距离d===.当α=时，d取得最大值，最大值为2+，此时点A的坐标为(，1).8.由题意知直线l的直角坐标方程为x-y+6=0，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4，圆C的半径r=2，所以圆心到直线l的距离d==3，所以点P到直线l的距离的最大值为5.