学案30等比数列及其前n项和学案30等比数列及其前n项和.docVIP

学案30　等比数列及其前n项和 自主梳理 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝______________. 3．等比中项： 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·________ (n，m∈N*)． (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则__________________________． (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan} (λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． (4)单调性：或?{an}是________数列；或?{an}是________数列；q＝1?{an}是____数列；q0?{an}是________数列． 5．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q (q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1； 当q≠1时，Sn＝＝＝－. 6．等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______． 自我检测 1．“b＝”是“a、b、c成等比数列”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是 (　　) A．3 B．1 C．0 D．－1 3．(2011·温州月考)设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1 (n∈N*)，则f(n)等于 (　　) A.(8n－1) B.(8n＋1－1) C.(8n＋2－1) D.(8n＋3－1) 4．(2011·湖南长郡中学月考)已知等比数列{an}的前三项依次为a－2，a＋2，a＋8，则an等于 (　　) A．8·n B．8·n C．8·n－1 D．8·n－1 5．设{an}是公比为q的等比数列，|q|1，令bn＝an＋1 (n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________. 探究点一　等比数列的基本量运算 例1　已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an和前n项和Sn. 变式迁移1　在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，Sn＝126，求n和q. 探究点二　等比数列的判定 例2　(2011·岳阳月考)已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*. (1)证明数列{an＋1}是等比数列； (2)求{an}的通项公式以及Sn. 变式迁移2　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)． (1)求a2，a3的值； (2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列． 探究点三　等比数列性质的应用 例3　(2011·湛江月考)在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且＋＋＋＋＝2，求a3. 变式迁移3　(1)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值； (2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44. 分类讨论思想与整体思想的应用 例　(12分)设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80，它的前2n项和为6 560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的第2n项． 【答题模板】 解　设数列{an}的公比为q， 若q＝1，则Sn＝na1，S2n＝2na1＝2Sn. ∵S2n＝6 560≠2Sn＝160，∴q≠1，[2分] 由题意得[4分] 将①整体代入②得80(1＋qn)＝6 560， ∴qn＝81.[6分] 将qn＝81代入①得a1(1－81)＝80(1－q)， ∴a1＝q－1，由a10，得q1，