数理经济学第10章 具有约束方程的最优化.docVIP

第10章 具有约束方程的最优化 10.1 基本约束优化问题 10.2 一阶必要条件 10.3 二阶充分条件 10.4 最优解的比较静态分析 10.5 Lagrange乘子的数学含义 10.6 目标函数最优值的比较静态分析 10.1 基本约束优化问题 一般标准的极大化问题： 或者： 一般标准的极小化问题： 或者： 10.2+10.3：一阶必要条件和二阶充分条件 1、等式约束优化问题 （1）两个变量一个等式约束的情形 极大化问题： 例：消费者的效用最大化问题 构造拉格朗日函数： 一阶必要条件： 注：通过将L视为三个选择变量的自由函数，将约束优化转化为了无约束优化。 拉格朗日乘数的解释： (*是Z*（最优值）对约束变化敏感性的度量。 特别的，c增加（预算增加）的影响表明约束条件的放宽如何影响最优解。 设：根据一阶必要条件得到的最优解为(*，，，则(*，，满足： 最优值为： 由三个必要条件，可以确定：， 因此，L*对c的导数： =(* 结论：拉格朗日乘数的解值是由参数c引起的约束条件变化对目标函数最优值影响的度量。 二阶条件： 约束条件 意味着x和y不是自由变化的，而应该满足：，即： ，或者 。 目标函数的二阶全微分： 根据约束条件 ， 得到： 代入上式： 根据一阶必要条件： 二阶必要条件： 对于Z的极大值：为半负定，满足， 对于Z的极小值：为半正定，满足； 二阶充分条件： 对于Z的极大值：为负定，满足， 对于Z的极小值：为正定，满足； 注意： 的有定性不等于 的有定性 因为： 约束规划问题转化为无约束规划，即拉格朗日函数的无约束极值，拉格朗日函数是选择变量的函数，而不仅仅是的函数。 (，代入上式： 海塞加边矩阵 因此，为正定，满足； 为负定，满足； 当且仅当 （2）多个变量和多个等式约束的情形 拉格朗日函数： 一阶必要条件： 二阶充分条件： 海塞加边矩阵 二阶充分条件： （n-m）个加边顺序主子式： ，，(， 对于极大值，充分条件是这些加边顺序主子式的符号交替变换，的符号为。对于极小值，充分条件是这些加边顺序主子式均取相同符号，即都为。 2、不等式约束优化问题 （1）非负约束 s.t. 假设f(x)是可微的，由于约束条件，极值有三种可能的情况： a. 内解： ，且 b. 边界解：，且 c. 边界解：，且 将三种情况合并成一种情况： ， 且 表示x和至少有一个为零，因此两者的乘积一定为0。这个特点指x和互补松弛。 推广到n个选择变量： s.t. （） 相应的一阶条件： ， 且（） （2）不等式约束 S．t． 引入两个虚拟变量和，将上述问题变成等式约束和非负约束形式： S．t． 构造拉格朗日函数： 得到一阶条件： 由于和是非负的，因此一阶条件必须修改为： ，，； ，，； ， ， 把虚拟变量去掉，将L(换成L： ，，； ，，； ——库恩—塔克条件。 推广：n个变量、m个约束的情形 拉格朗日函数： 极大化库恩—塔克条件： ，，； ，，； 极小化库恩—塔克条件： ，，； ，，； 库恩—塔克条件的解释： ① ， ② ， ③ ， （互补松弛条件） 和：边际条件； 和：非负约束 ：约束条件 互补松弛条件则意味着对于每一个，其最优解要么满足边际条件等式成立（），要么变量，或者两式同时成立。对而言，其最优解要么满足边际条件等式成立（），这说明第i个约束恰好完全满足，要么变量，或者两式同时成立。 例题：生产问题（厂商利润最大化） 那么：