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4.3 解对初值的连续性和可微性定理 4.3.1解对初值的连续性 看成是固定的。 变动，则相应的初值问题 此，在考虑初值变动时，解可以看作三个变元的 它满足 下面我们着重讨论解关于初值的一些性质。 解对初值的对称性 设方程（4.2.1）的满足初始 的解是唯一的，记为 则在此表达式中， 可以调换其相 显然，假如 的解也将随之变动，也就是初值问题的解不但依赖于自变量x，同时也依赖于初值 ，因 函数而记为 条件 与 到现在为止，我们把初值 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 对位置，即在解的存在范围内成立着关系式 事实上，在上述解的存在区间内任取一值 ，且记 ，则由解的唯一性知过点 的解与过点 的解是同一条积分曲线，即此 并且显然有 。注意点 是积分曲线上的任意一点，所以关系式 对该积分曲线上的任意点 均成立，这就证实 解可以写为 了我们的推断。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 前面的讨论告诉我们，解一般是依赖于初值的。例如Cauchy问题 的解为 这样就提出了一个在理论上和应用上都很重要的问题：当初值发生变化时，对应的解如何变动？根据所考虑的解的存在范围是否有限，这个问题又分成下面两种问题： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 问题1 解在某个有限闭区域 上有定义，讨论 初值 发生微小变化时，对解的影响情况，称为解对初值的连续性。内容包括：当初值发生小的变化时，所得到的解是否仍在 上有定义以及解在整个区间 上是否也变化很小？ 问题2 解在某个无限闭区间，如 上有 定义，讨论初值 的微小变化是否导致解在 上由定义以及解在整个区间 上变化很小？这种问题称为解的稳定性问题，将在第六章中讨论。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定义4.3.1 设初值问题 的解 在区间 [a, b] 上存在，如果 ，存在 ，使得 的一切 初值问题 （4.3.1） 对于任给的 对于满足 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 的解 都在 上存在，且有 则称初值问题的解 在点 连续依赖于初值 。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 为了证明解对初值的连续依赖性定理，先证明下 面的引理： 在某个区域G内连续， ，在 其中 证明 设 在区间 [a, b] 上有定义，令 则 引理：如果函数 且关于y满足Lipschitz条件（Lipschitz常数为L）， 则对方程（4.3.1）的任意两个解 它们公共存在的区间内成立不等式 为所考虑区间内的某一值。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.