第3课时——3.1.3两角和与差的正切(教师）.docVIP

3.1.3两角和与差的正切 【学习导航】 掌握两角和与差的正切公式及其推导方法。 通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。 3．能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。 教学重点： 学习重点 能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式 学习难点 进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形 【自学评价】 1．两角和与差的正、余弦公式 2．tan((+()公式的推导 ∵cos ((+()(0 tan((+()= 当cos(cos((0时, 分子分母同时除以cos(cos(得： 以((代(得： 其中都不等于 3．注意：1(必须在定义域范围内使用上述公式tan(，tan(，tan((±()只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式. 2(注意公式的结构，尤其是符号. 4．引导学生自行推导出cot((±()的公式—用cot(，cot(表示 cot((+()= 当sin(sin((0时,cot((+()= 同理，得：cot(((()= 【精典范例】 例1已知tan(=，tan(=(2 求cot(((()，并求(+(的值，其中0((90(, 90((180( 解：cot(((()= ∵ tan((+()= 且∵0((90(, 90((180( ∴90((+(270( ∴(+(=135( 例2 求下列各式的值： （1） （2）tan17(+tan28(+tan17(tan28( （3）tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20° 解：（1）原式= （2） ∵ ∴tan17(+tan28(=tan(17(+28()(1(tan17(tan28()=1( tan17(tan28( ∴原式=1( tan17(tan28(+ tan17(tan28(=1 （3）原式＝ 说明：可在△ABC中证明. 例3 已知 求证tan(=3tan((+() 证：由题设： 即 ∴ ∴tan(=3tan((+() 例4已知tan(和是方程 的两个根，证明：p(q+1=0 证：由韦达定理：tan(+=(p ，tan(?=q ∴ ∴p(q+1=0 例5已知tan(=，tan((()=(tan(tan(+m),又(,(都是钝角，求(+(的值 解：∵两式作差，得：tan(+tan(=(1(tan(tan() 即 ∴ 又 (,(都是钝角 ∴((+(2( ∴(+( 思维点拔： 两角和与差的正切及余切公式, 解题时要多观察，勤思考，善于联想，由例及类归纳解题方法，如适当进行角的变换，灵活应用基本公式，特殊角函数的应用等是三角恒等到变换中常用的方法和技能． 【追踪训练】 1.若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cos（A＋B）的值为( C ) 2.在△ABC中，若0＜tanA·tanB＜1则△ABＣ一定是( B ) A.等边三角形 B.直角三角形 Ｃ.锐角三角形 Ｄ.钝角三角形 3.在△ABC中，tanA＋tanB＋tanＣ＝3，tan2B＝tanAtanＣ，则∠B等于 . 4.＝ － . 5.已知(5) 6.已知 （１）求； （２）求的值（其中）． 分析： （１）观察（）的结构，直接代入公式；若改求呢？ （２）由（１）直接运用公式（）容易求出的值．但由已知的三角函数值求角时，所得的解不唯一的．因此，必须根据已知条件进行分析，这就要确定的范围． 【选修延伸】 例6已知A、B为锐角，证明的充要条件是（1＋tanA）（1＋tanB）＝2. 选题意图：考查两角和与差的正切公式的变换应用和求角的方法. 证明：(先证充分性) 由(1＋tanA）（1＋tanB）＝2即1＋（tanA＋tanB）＋tanA·tanB＝2 得tan（A＋B）［1－tanAtanB］＝1－tanA·tanB ∴tan（A＋B）＝1 又0＜A＋B＜π ∴A＋B＝ (再证必要性) 由 整理得（1＋tanA）（1＋tanB）＝2. 说明：可类似地证明以下命题： (1)若α＋β＝，则（1－tanα）（1－tanβ）＝2； (2)若α＋β＝，则（1＋tanα）（1＋tanβ）＝2； (3)若α＋β＝，则（1－tanα）（1－tanβ）＝2. 【追踪训练】 1.an67°30′－tan22°30′等于( C ) A.1 B. Ｃ.2 Ｄ.4 2.an17°tan43°＋tan17°tan30