2009年高考数学第一轮复习数学2.8 对数与对数函数.docVIP

2009年高考第一轮复习数学2.8 对数与对数函数 （一）知识梳理 1．对数的概念 如果,那么b叫做以a为底N的对数,记 2.对数的性质：①零与负数没有对数 ② ③ 3.对数的运算性质； 其中a0,a≠0,M0,N0； 对数换底公式 4．幂函数与指数函数有什么区别？ 幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数 对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数 5.指数函数y=ax与对数函数y=logax (a0 , a≠1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系 名称 指数函数 对数函数 一般形式 Y=ax (a0且a≠1) y=logax (a0 , a≠1) 定义域 (-∞,+ ∞) (0,+ ∞) 值域 (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) 过定点 （０，1） （1，０） 图象 指数函数y=ax与对数函数y=logax (a0 , a≠1)图象关于y=x对称 单调性 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 ０＜a1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数 a1,在(0,+ ∞)上为增函数 ０＜a1, 在(0,+ ∞)上为减函数 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 ０＜a1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数 a1,在(0,+ ∞)上为增函数 ０＜a1, 在(0,+ ∞)上为减函数 y1 ? y1? y0? y0? .记住常见对数函数的图形及相互关系 4．几个注意点 1．指数函数y=ax与对数函数y=logax (a0 , a≠1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系 2．研究对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制 （二）小题训练 1. 1.（北京文2）若，则 解：利用中间值0和1来比较: 2. （江西文4）若，则 A． B． C． D． 为增函数, 3.（08安徽理13文13）函数的定义域为 ． 4.（2004年春季北京）若f －1（x）为函数f（x）=lg（x+1）的反函数，则f －1（x）的值域为___________________. 解析：f －1（x）的值域为f（x）=lg（x+1）的定义域. 由f（x）=lg（x+1）的定义域为（－1，+∞）， ∴f －1（x）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞） 5.(2005北京春季高考)函数f(x)=|log2x|的图象是( ) 解析:f(x)= 答案:A （三）题型剖析 考点一：对数函数性质应用 例1：取值 原式= 3．指对数互化 例2．已知x,y,z为正数，满足 ① 求证： ②比较3x、4y、6z的大小 思维分析：掌握指数式与对数式互化是解决问题的一个有效途径。 解：①设， ② 练习（变式一）已知a、b、c均是不等于1的正数，且， 求abc的值 答案：1 例3、（1）试比较下列各组数的大小 .解：对于（1）：考察对数函数，底数，在（0，+∞）上是减函数， ； 对于（2）：本题若以为中介，都不能成功。用作差法， 例4（1）已知 （2）若 思维分析：用换底公式化成相关数质数为对数的底数与真数，再进行代换。 解：（1） （2） 考点二：对数方程或不等式 例5.解不等式 解析一： ； 综上：说明：解指数、对数不等式常见的方法有：(1)同底法；(2)取对数法；(3)换元法：多用于不等式两边是和的形式，或取对数后再换元，并注意所换“元”的范围。解对数不等式要注意定义域优先考虑，不可忽视真数大于零，即。 解析二：， 利用标根法，解得 说明：解分式不等式最基本的思想是去分母化归成整式不等式，但是去分母的途径多种多样。本题是运用了等价变换，如。切记不要忘记分母不为零，当然则不需要。 解析三： 且。 运用标根法，得到 说明：根据不等式的性质，若，，则；，则等。因此， 有，我们把这种求分式不等式的方法记为取倒数法。例如解不等式： 。利用数轴标根法，解得，不等式的解集，相对来讲，取倒数法要比常规的解分式不等式的一般方法要简捷。再如解不等式，正常情况下要移项通分，但是运用取倒数法，可能更简捷：或，即或，得。 考点三：对数函数的图像和性质 (06陕西卷)设函数f(x)=loga(x+b)(a0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3 解析：函数f(x)=loga(x+b)(a0a≠1)的图象过点(21)，其反函数的图过