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2009年高考数学第一轮复习2.7 指数与指数函数 一．知识梳理 1．幂的有关概念 (1)正整数指数幂 (2)零指数幂 (3)负整数指数幂 (4)正分数指数幂； (5)负分数指数幂 (6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质 3．根式的内容 （1）根式的定义:一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，叫做根式， 叫做根指数，叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当是奇数，则；当是偶数，则 ②负数没有偶次方根， ③零的任何次方根都是零 4指数函数y=ax 5.记住常见指数函数的图形及相互关系 二.点击双基 1.（2003年郑州市质量检测题）函数y=2的图象与直线y=x的位置关系是 解析：y=2=（）x. ∵＞1，∴不可能选D. 又∵当x=1时，2＞x，而当x=3时，2＜x，∴不可能选A、B. 答案：C 2.（2004年湖北，文5）若函数y=ax+b－1（a＞0且a≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有 A.0＜a＜1且b＞0 B.a＞1且b＞0 C.0＜a＜1且b＜0 D.a＞1且b＜0 解析：作函数y=ax+b－1的图象. 答案：C 3（08年辽宁8）.将函数的图象按向量平移得到函数的图象,则等于( ) A. B. C. D. 解：依题由函数的图象函数的图象函数的图象 4.（2004年全国Ⅱ，理6）函数y=－ex的图象 A.与y=ex的图象关于y轴对称 B.与y=ex的图象关于坐标原点对称 C.与y=e－x的图象关于y轴对称 D.与y=e－x的图象关于坐标原点对称 解析：图象法. 答案：D 二、题型剖析 考点一．指数化简和运算 例1．计算下列各式 ① ② 思维分析：式子中既有分数指数、又有根式，可先把根式化成分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算。在指数式运算中，注重运算顺序和灵活运用乘法公式。 解： （2）原式= 练习：计算 （1） 答案： （2） 答案：45 考点二：条件求值证明问题 例2．已知，求下列各式的值 （1） （2） 思维分析：如何合理运算已知条件，熟练掌握乘法公式及方程的观点处理问题。 解：（1）两边平方得 （2）原式= 练习：设的值。 答案：2 变式训练1 考点三：指数函数的图象 可做出函数的图像如右图，因此函数f（x）在（-∞，0）上是减函数； 在（0，+∞）上递增。 因此f（x）的图像与f（x+1）的图像交点的横坐标为 变式训练3（04年湖南16）．若直线y=2a与函数y=|ax－1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是____. 解析：数形结合.由图象可知0＜2a＜1，0＜a＜. 答案：0＜a＜ 考点四：与指数函数相关的复合函数问题 例4．.函数y=（）的递增区间是___________. 解析：∵y=（）x在（－∞，+∞）上是减函数，而函数y=x2－2x+2=（x－1）2+1的递减区间是（－∞，1］，∴原函数的递增区间是（－∞，1］. 例5．.若a2x+·ax－≤0（a＞0且a≠1），求y=2a2x－3·ax+4的值域. 解析：由a2x+·ax－≤0（a＞0且a≠1）知0＜ax≤. 令ax=t，则0＜t≤，y=2t2－3t+4.借助二次函数图象知 y∈［3，4） 解析：f（x）的定义域为R 变式训练3. 已知函数, (1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域； (3)证明是上的增函数。 （1）∵定义域为,且是奇函数； （2）即的值域为； （3）设,且， (∵分母大于零，且) ∴是上的增函数。 例8 已知函数， 求证：（1）函数在上为增函数； （2）方程没有负数根 证明：（1）设， 则 ， ∵，∴，，， ∴； ∵，且，∴，∴， ∴，即， ∴函数在上为增函数； 另法：∵， ∴ ∴函数在上为增函数； （2）假设是方程的负数根，且，则， 即， ① 当时,,∴,∴, 而由知 ∴①式不成立； 当时，，∴，∴，而 ∴①式不成立 综上所述，方程没有负数根 走进高考 1.:若直线y=2a与函数的图象有两个公共点,则a的取值范围是() 2.（08福建卷）函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列 结论正确的是 （ D ） A． B． C D． 3.（08安徽卷）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ） A． B． C． D． 解： 用代换x得： ， 解得：，而单调递增且大于等于0， ，选D。