2009届高三一轮复习精品讲义（新课标）第4讲 基本初等函数.docVIP

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座4）—基本初等函数 一．课标要求 1．指数函数 （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2．对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； （2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．知道指数函数与对数函数互为反函数（a＞0，a≠1）。 二．命题走向 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2009年对本节的考察是： 1．题型有两个选择题和一个解答题； 2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。 三．要点精讲 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。即若，则称的次方根， 1）当为奇数时，次方根记作； 2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作。 ②性质：1）；2）当为奇数时，； 3）当为偶数时，。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）N*；2）； n个 3）Q，4）、N* 且。 ②性质：1）、Q）； 2）、 Q）； 3） Q）。 （注）上述性质对r、R均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。 1）以10为底的对数称常用对数，记作； 2）以无理数为底的对数称自然对数，，记作； ②基本性质： 1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）； 3）；4）对数恒等式：。 ③运算性质：如果则 1）； 2）； 3）R）。 ④换底公式： 1）；2）。 2．指数函数与对数函数 （1）指数函数： ①定义：函数称指数函数， 1）函数的定义域为R；2）函数的值域为； 3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。 ②函数图像： 1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限； 2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）； 3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。 ③函数值的变化特征： （2）对数函数： ①定义：函数称对数函数， 1）函数的定义域为；2）函数的值域为R； 3）当时函数为减函数，当时函数为增函数； 4）对数函数与指数函数互为反函数。 ②函数图像： 1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限； 2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）； 4）对于相同的，函数的图象关于轴对称。 ③函数值的变化特征： 四．典例解析 题型1：指数运算 例1．（1）计算：； （2）化简：。 解：（1）原式= ； （2）原式= 。 点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。 例2．已知，求的值。 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴。 点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。 题型2：对数运算 例3．计算 （1）；（2）； （3）。 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）分子=； 分母=； 原式=。 点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。 例4．设、、为正数，且满