2009届一轮复习高三数学函数性质的应用.docVIP

2009届一轮复习函数性质的应用 函数是高中数学的主线，它作为中学数学的重要知识体系，自身内容十分丰富。它与不等式、数列、三角、复数、解析几何等都密切联系。而函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值等）及其应用更以其综合性成为高考考察的重点和热点，函数与方程、分类讨论、数形结合、数学建模等重要的数学思想和待定系数法、换元法、配方法等重要的数学方法得以充分体现。因此，它是培养创新意识、提升数学素养、提高数学能力的极好素材。 一．复习要点 函数单调性、奇偶性、周期性、最值及其应用。 复合函数的单调性。 函数与方程、分类讨论、数形结合、数学建模等重要的数学思想和待定系数法、换元法、配方法等重要的数学方法。 二．典型例题 例1．函数y=的反函数 是奇函数，它在（0，+）是减函数。 是偶函数，它在（0，+）是减函数。 是奇函数，它在（0，+是增函数。 是偶函数，它在（0，+是增函数。 分析：（—）反函数与原函数有相同的奇偶性与单调性，故只须考察函数y=的奇偶性与单调性，易知此函数是奇函数且在在（0，+是增函数。故选（C）。 （二）首先求出函数y=的反函数为，然后证明是奇函数且在在（0，+是增函数。故选（C）。 例2．若定义在R上的偶函数f（x）在（-，0）上是减函数，且=2。那么不等式的解集为 （A）（0.5，1）。（B）（0，0.5）。（C）（0，0.5）。（D）（2，+） 分析：因为定义在R上的偶函数f（x）在（-，0）上是减函数，故在上是增函数。易知不等式且的解集为（0，0.5），且 的解集为（0，+）。故选（B）。 例3．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对一切x，总有f（x+4）=f（x），若f（63）=2，则f（5）与f（7）的大小关系是 分析：对一切x，总有f（x+4）=f（x），故函数是周期为4的函数，因此，又函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以， 。 例4．已知f（x）=8+2x-x2，如果g（x）=f（2-x2），那么g（x） （A）在区间（-2，0）上是增函数。（B）在区间（0，2）上是增函数。 （C）在区间（-1，0）上是减函数。（D）在区间（0，1）上是减函数。 分析（—）：首先求出。然后，通过分段找出函数单调区间，由复合函数的单调性知在区间（-1，0）上是减函数，在区间（0，1）上是增函数。故选（C）。 （二）：令，则函数由函数和复合而成。的对称轴为的对称轴为而令 的解为。故得的单调区间为， 由复合函数的单调性知在区间（-1，0）上是减函数，在区间（0，1）上是增函数。故选（C）。 例5．设函数f（x）=lg，其中a是实数，n是自然数，且n，若f（x）当x时有意义，求a的取值范围。 分析：使函数f（x）=lg有意义的的集合满足： 即 。。。。。。① 因的定义域是，故对于一切，①式恒成立。由函数 在上是减函数知函数在 上是增函数。故在上的最大值是 。故所求范围是（。 说明：利用函数的单调性求函数的值域或最值是一种重要的方法。 例6．设函数f（x）=log2（x+1），当点（x，y）在y=f（x）的反函数图象上运动时，对应的点（）在y=g（x）的图象上。 求g（x）的表达式。 当g（x）—f—1（x）0时，求u（x）=g（x）—f—1（x）的最小值。 分析：(1)易求。。 由g（x）—f—1（x）0得：。 故即。 说明：二次函数的最值不一定在顶点取得，当时，的最值为。 例7．在某产品的制造过程中，次品率p依赖于日产量x， 当时 已知 1 当时 其中x为正整数，又该厂每生产一正品可赢利A元，但每生产出一件次品就要损失元 (1). 将该厂的日赢利额T（元）表示为日产量x（个）的函数，并指出这个函数的定义域。 (2). 为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少？ 分析：（1）易知 （2）求T的最大值是个难点。须变换： 易知当且仅当89.4时，最大。但是，两者 的最大值一定是的最大值吗？这是本题的第二个难点。因此，必须证明函数 在（0，）上是增函数，而在（，100）上是减函数。 这样，在比较的大小知：当时，最大。 说明：（1）利用均值不等式求最值是一种重要方法。 在用近似方法求函数的整数解时，使用四舍五入法还是去尾法，要视具体 情况而定。 三．高考试题精选 1．（97