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第四章 流体动力学基础 本章在流体运动学的基础上，加进动力学因素，对运动流体的应力状态作进一步分析，定义应力张量，并给出应力张量和变形率张量之间的联系。建立不可压缩流体运动微分方程 — N-S方程。对理想流体运动微分方程 —— 欧拉方程在恒定条件下沿流线积分得到恒定元流的能量方程 —— 伯努利方程，进而推广到总流，得到恒定总流的能量方程。将动量守恒定律用于恒定总流得到恒定总流的动量方程。 §4—1运动流体的应力状态 在静止流体里，无论是理想还是粘性流体，流体质点只能承受压应力，即静水压强。任一点上的静水压强与作用方向无关，只是位置的函数。这说明静止流体的应力状态可由一个静压强（数量场）来描述。 在运动的流体中，既可能有压应力又可能有切应力。把流体在运动状态下的压应力叫做动水压强，以示与静水压强的区别。 在运动的理想流体里，由于没有粘滞性的作用，虽有质点的相对运动，也不会有切应力，因此理想流体中只有动水压强，而且可用分析静水压强特性的同样方法推证：任一点的动水压强在各方向上的大小都相等，和静水压强有同样的特性。 在运动的实际流体中，由于粘滞性作用，既有压应力又有切应力。任意一点处的应力是矢量，而且还与作用面方向有关。所以把法向为的作用面上的应力矢量表示为，这里我们定义法线的正方向为受力面的外法向，即法向应力为正表示流体受拉。应力矢量的分量形式为，其中每一个分量的两个脚标的含义是：前一个表示作用面方向；后一个表示应力分量之投影方向。由此，也可知等的含义。 由如下九个量组成的二阶张量，称为应力张量，记为 主对角线上的三个元素是法应力分量，其它是切应力分量。可以证明这个张量是对称的，所以它只有六个独立的分量。 有了应力张量[P]，任意方位作用面上的应力都可知道，为：，如法向为的作用面上应力的y方向的分量为 运动流体中的每一点都对应一个应力张量，有了这个应力张量，即可知道该点处任意方位作用面上的应力，可见运动流体的应力状态可由应力张量来描述。 应力张量主对角线上三个元素之和 是坐标变换中的不变量，即其值不随坐标轴的转动而改变，任意三个相互垂直的作用面上的法应力之和都是相同的。于是可定义 为流体的动压强。它由场点唯一对应，而与作用面的方位无关。所以运动流体中存在一动压强场，它是数量场。要注意p并非任意方位作用面上真正的压应力. 各向同性的不可压缩牛顿流体的应力和变形速率之间存在线性关系： 其中 它是牛顿内摩擦定律在三维情况下的推广，称为广义牛顿内摩擦定律。 §4—2流体运动微分方程 一. 以应力表示的流体运动微分方程 在流场中取出一个空间六面体微元, 按照欧拉观点表述动量守恒原理：单位时间微元内动量的增加必等于单位时间净流入微元的动量加上微元内流体所受合力。 在单位时间里，净流入微元左右一对表面的y方向的动量为，净流入前后和上下两对表面的y方向的动量分别为 和 . 作用于六面体微元表面沿y方向的表面力有：左右一对面元法向力 ；前后一对面元切向力 ；上下一对面元切向力 .相加得沿y方向的总表面力 作用于六面体微元的沿y方向的质量力为 单位时间六面体微元内y方向动量的增加为 根据动量守恒原理，得到 将上式的左侧展开  易知上式右侧第一项为，根据连续方程第二项为零。所以 同理可得x,z 两个方向上的方程：  这就是以应力表示的流体的运动方程。X,Y,Z表示质量力的三个分量。 二. 不可压缩粘性流体的运动微分方程 — N-S方程 将广义牛顿内摩擦定律代入运动微分方程,即有  最后一个等号是由于用了不可压流体的连续方程。同理可得 x,z方向上的方程，并可合并成如下的矢量式： . 这就是不可压粘性流体的N-S方程，式中 是拉普拉斯算子，表示对变量求调和量。 不可压粘性流体的N-S方程表明了时变惯性力、位变惯性力、质量力、压差力和粘性力之间的平衡。 三．理想流体的运动微分方程——欧拉方程 理想流体忽略粘性作用，，流体中没有切应力，运动微分方程简化为：  称为欧拉方程。它表明了时变惯性力、位变惯性力、质量力、压差力之间的平衡。 流体静止时，只受质量力、压差力的作用，运动方程退化为欧拉平衡方程 四. 流体动力学定解问题和解法概述 基本微分方程组 前面导出的微分形式流体运动方程连同连续方程，形成对流体运动的基本控制方程组，是求解流速场和压力场的理论基础。四个方程可求四个未知量：p和，方程组是封闭的。但由于运动方程是二阶偏微分方程，其中的位变惯性力（常称为对流项）是非线性的，解析求解非常困难。 解法概述 只有