人教新课标版（2012教材）初中八上第十五章分式知识梳理.docVIP

人教新课标版（2012教材）初中八上第十五章分式知识梳理 本章知识结构图 一、分式的概念 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 二、与分式相关的几个“条件” 1、分式有意义的条件： 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式，当时，分式有意义； 2、分式无意义的条件： 与分式有意义的条件相反，当分母为0时，分式无意义． 如：分式，当时，分式无意义． 3、分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 4、分式值为正的条件：当分式的分子、分母同号时，分式值为正． 如：分式，当或时，； 5、分式值为负的条件：当分式的分子、分母异号时，分式值为负． 如：分式，当或时，； 注意：在解决分式值为“正”或“负”的问题时，注意分类讨论． 三、分式的基本性质： 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：，()． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是； ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 四、分式的基本运算 1、比例的性质 ⑴ 比例的基本性质：，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）： ⑷ 合比性：，推广：（为任意实数） ⑸ 等比性：如果，那么（） 2、基本运算 确定最简公分母的方法： ①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 确定最大公因式的方法： ①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数； ②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 分式的乘法： 分式的除法： 乘方：(为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴(、为整数) ⑵(、为整数) ⑶(为整数) ⑷(，、为整数) 负整指数幂：一般地，当是正整数时，()，即()是的倒数 零指数幂： 分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减， 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减， 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 结果以最简形式存在. 五、分式的化简求值 1、化简后直接代入求值 如：已知，其中 2、条件等式化简求值 （1）直接换元求值 如：已知：（），求的值． （2）设参辅助求值 如：已知，则___________． （3）整体置换 如：已知，求的值． （4）其它条件等式化简求值 如：已知，求下面代数式的值： 六、分式的运算技巧 1、分式的换元化简 如：化简： 提示：设，则． 2、利用乘法公式或者因式分解法化简 如：计算： 3、分式的递进通分 如：计算： (为自然数) 4、分式的裂项 如：若，且，求的值． 提示：利用进行裂项，化繁为简. 5、分式配对 如：已知：，求的值. 七、分式方程 （1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． （2）常规解法：通过去分母（方程两边都乘以最简公分母），将分式方程转化为整式方程；解整式方程；验根． （3）特殊解法：换元法、拆项法等． （4）增根问题：①增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根——增根； ②验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根． （5）增根的性质：①增根可以使分式方程的最简公分母值为0； ②增根不是原分式方程的根，但增根是分式方程转化所得整式方程的根. 提示：利用好增根的性质，可以解决有关“当参数取何值时，分式方程会产生增根”的问题. 八、分式方程与应用题 列分式方程解应用题时，应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析和解决问题，注意检验、解释结果的合理性． 中小学多媒体教学资源：