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人教新课标版（2012教材）初中八上第十四章整式的乘法与因式分解知识梳理 本章知识架构 一、幂的运算： 1、同底数幂的乘法法则： （都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如： 2、幂的乘方法则： （都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如： 幂的乘方法则可以逆用：即 如： 3、积的乘方法则： （是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（= 4、同底数幂的除法法则： （都是正整数，且 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： 5、零指数； ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 二、单项式、多项式的乘法运算： 6、单项式与单项式相乘: 把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如： 。 7、单项式乘以多项式: 就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即(都是单项式)。如：= 。 8、多项式与多项式相乘: 多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 9、平方差公式：注意平方差公式展开只有两项 公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如： 10、完全平方公式： 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样。 公式的变形使用：（1）； ； （2）三项式的完全平方公式： 11、单项式的除法法则: 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 如： 12、多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即： 三. 分解因式 1.因式分解的概念 (1)项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. (2)解与整式乘法是互逆关系. 因式分解与整式乘法的区别和联系: (1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 2.提公共因式法 （1）. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如: （2）. 概念内涵: a.因式分解的最后结果应当是“积”; b.公因式可能是单项式,也可能是多项式; c.提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: 3. 易错点点评: (1)注意项的符号与幂指数是否搞错; (2)公因式是否提“干净”; (3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉. 3.运用公式法 (1) 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法. (2) 主要公式: 平方差公式: 完全平方公式: (3) 易错点点评: 因式分解要分解到底.如就没有分解到底. (4) 运用公式法: a.平方差公式: ①应是二项式或视作二项式的多项式; ②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方; ③二项是异号. b.完全平方公式: ①应是三项式; ②其中两项同号,且各为一整式的平方; ③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍. (5)因式分解的思路与解题步骤: (1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法; (3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 4.分组分解法: (1)分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法. 如: (2)概念内涵: 分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式. (3)注意: 分组时要注意符号的变化. 5.十字相乘法: (1)对于二次三项式,将a和c分别分解成两个因数的乘积, , , 且满足,往往写成 的形式,将二次三项式进行分解. 如: (2) 二次三项式的分解: (3)规律内涵: a.理解:把分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同. b.如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是