第四章 自由曲线课件.pptVIP

北京大学计算机系图形研究室 第四章 曲线与曲面基础 4.1 自由曲线与自由曲面 4.2 Bezier曲线 4.3 B样条曲线 为什么要研究曲线和曲面？ 几何造型系统中有三种描述物体的三维模型:线框模型、曲面模型和实体模型。 实际的计算机辅助设计中，经常涉及复杂曲线和曲面的处理，用两种方法： 由已知的离散点决定曲线 将存在的曲线修改，使之符合要求 须研究——自由曲线的数学表示形式 4.1 参数曲线与曲面 曲线曲面的表示 曲线的基本概念 插值、逼近、拟合和光顺 参数曲线的代数与几何形式——Hermite曲线 参数曲面基本概念 曲线的表示： 非参数表示： 显式表示: y = f（x） 隐式表示: f（x，y）= 0 参数表示: P(t) = [x(t), y(t), z(t)] 显式表示：不能表示封闭或多值的曲线,如不能用显示方程表示一个圆. 显式或隐式表示存在下述问题： 与坐标轴相关 会出现斜率为无穷大的情形（如垂线） 对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非参数化函数表示 不便于计算机编程 4.1.1 曲线曲面的表示 非参数表示和参数表示： 4.1.1 曲线曲面的表示 参数表示的优点： 可以满足几何不变性的要求 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换 便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算 变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量，便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去 规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。 易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。 4.1.2 曲线的基本概念 曲线上任一点的位置矢量可表示为： P(t)=[x(t), y(t), z(t)]； 切矢量 单位切矢量 曲率 对于一般参数t，可以推 导出曲率计算公式: 4.1.3 插值、拟合和光顺 插值、拟合和逼近 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。 例如:给定函数f(x)在区间[a,b]中互异的n个点的值f(xi),基于这个列表数据,寻找某一个函数r(x)去逼近f(x).要求r(x)在xi处与f(xi)相等,这种函数逼近问题为插值问题,称r(x)为f(x)的插值函数,xi为插值节点.即r(x)在n个插值节点xi处与f(xi)相等,而在别处用r(x)近似地代替f(x). ? 曲线曲面的插值：当用一组型值点来指定曲线曲面的形状时，线或面的形状完全通过给定的型值点列。 4.1.3 插值、拟合和光顺 线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，y1= f(x1),y2= f(x2).用一个线性函数：r(x)=y=ax+b，近似代替f(x)，选择线性函数的系数a,b使得:r(x1)=y1,r(x2)=y2,称r(x)为f(x)的线性插值函数。 4.1.3 插值、拟合和光顺 抛物线插值：已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造一个函数: 使抛物线 在结点xi处与f(x)在xi处的值相等. 选择合适的系数a,b,c构造插值函数 。 4.1.3 插值、拟合和光顺 拟合 当插值点太多,构造插值函数使其通过所有的点是相当困难的. 选择一个次数较低的函数,在某种意义上逼近这些点.拟合方法很多,最常用的有最小二乘法. 最小二乘法:一组点(xi,yi),i=1,2…n要求构造一个m(mn-1)次多项式函数 逼近这些点.拟合的好坏用各点偏差的平方和最小或加权的方差最小: 其中dk是权因子,对可靠的点赋较大的比重. 4.1.3 插值、拟合和光顺 拟合 以求各点偏差平方和的极小值的方法,求得F(x)中的系数. 求极值: 有m+1个方程,可以解出m+1个未知数a0,a1,…am,代入定义即可求得多项式函数F(x). 4.1.3 插值、拟合和光顺 光顺:指曲线的拐点不能太多。对平面曲线而言，相对光顺的条件是： a. 具有二阶几何连续性(G2)； b. 不存在多余拐点和奇异点； c. 曲率变化较小。 4.1.3 插值、拟合和光顺 光顺 拐点的定义 　　设函数y=f(x)在区间(a，b)内各点具有导数或其导数为无穷大，则称相应曲线上凸部分与下凸部分的分界点为拐点．例如:曲线y＝sinx，点(0，0)，(π，0)是拐点． 奇异点的定义 一个奇点通常是一个当数学物件上被称为未定义的点，或当它在特别的情况下无法完序，以至