概率论习题课剖析.pptVIP

例9 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：(1)保险公司亏本的概率有多大？ (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润有99%的概率不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？ 解 设X表示一年内死亡的人数，则X~B(n,p)，其中 n= 10000，p=0.6%， np=60， npq=59.64 设Y表示保险公司一年的利润，则 Y=10000?12-1000X 于是由棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理 (1)P(Y?0)=P(10000?12-1000X?0) =1?P(X?120) ?1? ?(7.769)=0; (2)设赔偿金为a元，则 P(Y≥60000)=P(10000?12-aX≥60000) =P(X≤60000/a)≥0.99 由棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，上式等价于 例10 现有一大批种子，其中良种占1/6，今从其中任意选6000粒，试问在这些种子中，良种占的比例与1/6之差小于1%的概率是多少？ 解 选一粒良种看成是一次随机试验，因此选6000粒种子看作是6000重伯努里试验，令X表示6000粒种子中的良种数，则X服从n=6000，p=1/6的二项分布， 例11 设X,Y相互独立，且两者都在区间[0,1]上服从均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。 解 X,Y的密度函数分别为 由卷积公式 O 1 2 z x 1 x=z x=z-1 当0x1，且0z-x1时，被积函数为1，其它区域被积函数为0，即 0x1，且z-1xz 第三章 习题课 例1 设(X,Y)的概率密度是 求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。 = 5c/24 , c =24/5. 解 (1) 故 例1 设 (X,Y) 的概率密度是 解 求 (1) c 的值; (2) 两个边缘密度 . (2) 当 时 当 时, 注意取值范围 综上 , 当 时, 解 (2) 综上 , 练习： 设(X,Y)的概率密度是 求( X,Y )关于 X 和 Y 的边缘概率密度. 解 当 时, 当 时, 故 当 时, 当 时, 故 设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度 则称（X,Y）在G上服从均匀分布. 向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标 (X,Y)在G上服从均匀分布. 例 例 2 设(X,Y)服从如图区域G上的均匀分布， (1)求(X,Y)的概率密度； (2)求P(Y2X)； (3)求F(0.5,0.5)。 O 0.5 1 x G 解 (1)区域G的面积为1 (2) G1 y=2x y 1 P(Y2X) (3)F(0.5,0.5)=P(X≤0.5,Y≤0.5) G2 例3 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的概率是多少？ 解 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻 以12时为起点,以分为单位,依题意, X~U(15,45), Y~U(0,60) 所求为P( |X-Y | 5) , 甲先到 的概率 由独立性 先到的人等待另一人到达的时间不 超过5分钟的概率 P(XY) 解一 P( | X-Y| 5 ) =P( -5 X -Y 5) P(XY) 解二 P(X Y) =1/2 被积函数为常数， 直接求面积 =P(X Y) P( | X-Y| 5 ) 类似的问题如： 甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 . 若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率. 　定理2.3　设随机变量Y是随机变量X的函数Y=g(X), y=g(x)为连续函数。 (1) 若X为离散型随机变量，其分布律为 　　定理3.2　设(X,Y)为二维随机变量，g(x,y)为二元连续函数。