复变函数与积分变换第4章剖析.ppt

所以，级数 即 和函数： 对于级数 即 和函数： 所以，洛朗级数的 和函数： 例题1.2 问题： 在一个圆环内解析的函数是否一定能够展开成洛朗级数? 3.2 洛朗展开定理 C 定理3.2（洛朗定理） 注: 一般地,洛朗级数中的系数 不能利用—P40,公式--表示. C 洛朗展开式的计算： (代换运算时，特别注意收敛范围的验证） 4.验证所得级数是否符合形式 解： 例题1.2 例题1.2 解： 与所求洛朗级数的形式一致 例题1.2 解： 与所求洛朗级数的形式一致 例题1.2 解： 与所求洛朗级数的形式一致 洛朗级数的应用： 计算复变函数积分问题 解： 柯西积分定理 P29 例题1.2 洛朗级数的应用： 离散信号： 等式成立的范围： 洛朗级数 -2 -1 0 1 2 (作用：将差分方程转化为代数方程，简化计算） 小 结 1.了解定理的结论 2.熟练掌握 练 习 与所求洛朗级数的形式一致 例题1.2 与所求洛朗级数的形式一致 例题1.2 与所求洛朗级数的形式一致 等式两端求导，得 所以， 例题1.2 与所求洛朗级数的形式一致 等式两端求导，得 例题1.2 熟记此结论！！ 幂级数的运算： 则 两个幂级数像多项式一样进行相加，相减，相乘运算； 代换（复合）运算： 则 例 1.4 解： 凑项 小 结 2.熟练掌握:复数项级数的收敛，绝对收敛的判定。 1.熟练掌握：复数数列极限的判定与计算 高数中关于正项级数收敛的部分结论。 3.熟练掌握:定理1.5，幂级数的收敛半径的计算-比值法，根值法。 4.熟练掌握:幂级数和函数的性质－－在收敛圆内解析。 5. 熟练掌握:例1.2的结论，以及例1.4中的代换运算。 2.下列级数中，条件收敛的级数为（ ） (A) (B) (C) (D) C 练 习 题 (A) (B) (C) (D) 3.下列级数中，绝对收敛的级数为（ ） D 注： （ ） （A) 绝对收敛 （B） 条件收敛 (C) 发散 （D) 不确定 A 发散 第二节 泰勒级数 上节看到，任意的幂级数在其收敛圆内具有解析的和函数，即，幂级数在收敛圆内对应一个解析函数。 反过来，对于任意的解析函数 是否可以利用幂级数来表示？ 即 表达式 是否存在？ 若存在，具体形式如何？ 第三章，柯西积分公式给出了解析函数的积分表达式： （第三章，P40定理4.1) D d 定理2.1 且上述展开式是唯一的。 解析 注:(1) （2）解析函数的性质： 的收敛半径R ： 泰勒级数的计算： 约定： 其中， （1）直接展开法 利用定理2.1, 我们可以直接计算系数: 例 2.1 解： 收敛半径 常见函数在点 处的泰勒展开式：（需要记忆） （与高数一致） （二）间接展开法 借助一些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算（加法，乘法，积分，求导等运算）, 得出函数的泰勒展开式. [解] 函数的唯一奇点 z=-1. 例题1.2 解： 所以， 内展成泰勒级数 例题1.2 解: 所以， 内展成泰勒级数 解: f (z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近一个奇点a 的距离, 即R=|a-z0|. 小 结 1.熟练掌握 2.记忆：泰勒展开式： 3.熟练计算函数在点 的泰勒展开式。 练 习 ( ) D 注： 第三节 洛朗级数 （1）既含有正幂项，又含有负幂项的函数项级数有什么性质？ 例 问题： 问题： 3.1 洛朗级数及其收敛圆环 形如 注：与幂级数的区别：多了关于 的负幂项。 主要部分 解析部分 对于（1）： 对于（2）： 幂级数 幂级数 洛朗级数在收敛圆环域内 对应的和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导. 定理3.1： 例: 的收敛圆环与和函数。 求洛朗级数 解： 洛朗级数可表示为 对于级数 级数变为 和函数： 例题1.2 第四章 级 数 一.复数数列的极限，复数项级数,复变函数项级数 二. 泰勒级数 三. 洛朗级数 寻找（解析的）复变函数的级数表达式，为第五章做准备 1.复数数列的极限 第一节 复级数 1.1 复数项级数 定理1.1 则 的充要条件为 充分性 必要性 (无穷小与有界函数【实数范围内的余弦函数】的乘积仍为无穷小) 例： 例1． 解： 2.复数项级数 称为复数项无穷级数. 否则，称级数发散。 定理1.2 则 的充要条件是 收